cm bđt... nữa.

Question

Cho

x, y, z > 0

x y z = 1

Chứng minh:

\frac{x^{n}}{y + z} + \frac{y^{n}}{z + x} + \frac{z^{n}}{x + y} \geq \frac{3}{2}

với

n

nguyên dương
Tổng quát
Tìm min

\frac{x^{n}}{p y + q z} + \frac{y^{n}}{p z + q x} + \frac{z^{n}}{p x + q y}

với

p, q > 0

☻☻Tèo☻☻ · Answer 1 · 2/2/2016 10:54:23 PM

*) Với

n = 1

:

\frac{x}{p y + q z} + \frac{y}{p z + q x} + \frac{z}{p x + q y} = \frac{x^{2}}{p x y + q x z} + \frac{y^{2}}{p y z + q x y} + \frac{z^{2}}{p x z + q y z}

\geq \frac{(x + y + z)^{2}}{(p + q) (x y + y z + z x)} \geq \frac{3}{p + q}

Dấu bằng xảy ra khi:

x = y = z

*)Ta chứng minh bài toán tổng quát với

n \geq 2

:
Ta có:

\frac{x^{n}}{p y + q z} + \frac{p y + q z}{(p + q)^{2}} + (n - 2) . \frac{1}{p + q} \geq n \sqrt[n]{\frac{x^{n}}{p y + q z} . \frac{p y + q z}{(p + q)^{2}} . (\frac{1}{p + q})^{n - 2}} = \frac{n x}{p + q}

Tương tự:

\frac{y^{n}}{q x + p z} + \frac{q x + p z}{(p + q)^{2}} + (n - 2) . \frac{1}{p + q} \geq \frac{n y}{p + q}

\frac{z^{n}}{p x + q y} + \frac{p x + q y}{(p + q)^{2}} + (n - 2) . \frac{1}{p + q} \geq \frac{n z}{p + q}

Từ đó:

\frac{x^{n}}{p y + q z} + \frac{y^{n}}{q x + p z} + \frac{z^{n}}{p x + q y} + \frac{(p + q) (x + y + z)}{(p + q)^{2}} + 3 (n - 2) . \frac{1}{p + q} \geq \frac{n (x + y + z)}{p + q}

\Rightarrow \frac{x^{n}}{p y + q z} + \frac{y^{n}}{q x + p z} + \frac{z^{n}}{p x + q y} + 3 (n - 2) . \frac{1}{p + q} \geq \frac{(n - 1) (x + y + z)}{p + q} \geq \frac{3 (n - 1)}{p + q}

\Rightarrow \frac{x^{n}}{p y + q z} + \frac{y^{n}}{p z + q x} + \frac{z^{n}}{p x + q y} \geq \frac{3}{p + q}

Dấu bằng xảy ra khi:

x = y = z = 1

1 Đáp án