Xét $x=0,y=0$, ta có $VT=VP$
Xét $x \ne0, y\ne0$
Áp dụng bđt $Cauchy-Schwarz$
$VT=\frac{|x|^2}{2008|x|+|x|^2}+\frac{|y|^2}{2008|y|+|y|^2} \ge \frac{(|x|+|y|)^2}{2008(|x|+|y|)+(|x|^2+|y|^2)}$$=\frac{(|x|+|y|)^2}{2008(|x|+|y|)+(|x|+|y|)^2-2|xy|}> \frac{(|x|+|y|)^2}{2008(|x|+|y|)+(|x|+|y|)^2}$ (do $|xy| >0$)
$=\frac{|x|+|y|}{2008+(|x|+|y|)}$
Ta sẽ chứng minh bđt $\frac{|x|+|y|}{2008+(|x|+|y|)} > \frac{|x-y|}{2008+|x-y|}(*)$ đúng, từ đó suy ra $VT>VP$
$(*) \Leftrightarrow(|x|+|y|).(2008+|x-y|) > (2008+|x|+|y|)|x-y|$
$\Leftrightarrow 2008(|x|+|y|)+(|x|+|y|)|x-y| > 2008|x-y|+(|x|+|y|)|x-y|$
$\Leftrightarrow |x|+|y| \ge |x-y| \Leftrightarrow x^2+y^2+2|xy| > x^2-2xy+y^2$
$\Leftrightarrow |xy| > -xy $(đúng $\forall x \ne0, y\ne0$)
$\Rightarrow VT \ge VP$ (đpcm)