Đặt $x+y+z=p,xy+yz+zx=q,xyz=r$$x^3+y^3+z^3 +xyz \ge 4\Leftrightarrow p^3-3pq+3r+r \ge4 \Leftrightarrow 9q-4r \le 23(1)$ (do $p=3$)
Theo bđt schur, ta có $r \ge max\{0,\frac{p(4q-p^2)}9 \} =max\{0,\frac{4q-9}3\}$
* Với $q < \frac{9}{4}$ hay $4q-9 <0\Rightarrow r \ge0$
$VT(1)=9q-4r \le9q<\frac{81}4 <23$
* Với $q \ge \frac 94$ hay $4q-9 \ge0\Rightarrow r \ge\frac{4q-9}3$
$VT(1)=9q-4r \le9q-\frac{4(4q-9)}3=\frac{11}3q+12 \le \frac{11}3.\frac{p^2}3+12=23$
$\Rightarrow(1)$ luôn đúng
$\Rightarrow$ bđt ban đầu đúng, dấu $"="\Leftrightarrow x=y=1$. Phép c/m hoàn tất