Đường thẳng $d$ qua $M$ hệ số $k$ có dạng $k(x-7)+y-3=0$
Gọi $I$ là trung điểm $AB$, khi đó ta có $MA=3MB$ nên $AB=MA-MB=2MB$. Do đó $IA=IB=MB$.
Gọi $O$ là tâm đường tòn $(C)$ thì $O(1;-1)$. Khi đó ta có $MO^{2}=52$; $MA^{2}=25$
Tam giác $OIA$ vuông tại $I$ nên $25=MA^{2}=IA^{2}+OI^{2}\quad (1)$
Tam giác $OIM$ vuông tại $I$ nên $52=MO^{2}=OI^{2}+IM^{2}\quad (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta được $IA^{2}=9\Rightarrow OI^{2}=16$ hay $OI=4$
$OI$ chính là khoảng cách từ tâm $O$ đến đườn thẳng $d$. Áp dụng công thức khoảng cách ta có:
$\dfrac{|k(1-7)-1-3|}{\sqrt{k^{2}+1}}=4\Leftrightarrow \dfrac{(6k+4)^{2}}{k^{2}+1}=16$
$\Leftrightarrow 20k^{2}+48k=0\Rightarrow k=0$ hoặc $k=\dfrac{12}{5}$
Với $k=0$ ta có đường thẳng $y=3$
Với $k=\dfrac{12}{5}$ ta có đường thẳng $12x+5y-99=0$