giải giùm mình

Question

cho các số thực a,b không đồng thời bằng 0. CMR

$\frac{2ab}{a^2+4b^2}+\frac{b^2}{3a^2+2b^2}\leq \frac{3}{5}$

tran85295 · Answer 1 · 12/21/2015 9:09:11 PM

* Với $a=0\Rightarrow VT=\frac{1}{2}$

* Với $b=0\Rightarrow VT = \frac{1}{3}$

* Với $a \ne 0, b \ne 0$. Đặt $a=xb(x \in \mathbb{R^+})$

Khi đó $VT=\frac{2x}{x^2+4}+\frac{1}{3x^2+2}$

Ta sẽ chứng minh $VT \le \frac 35$ hay $\frac{2x}{x^2+4}+\frac{1}{3x^2+2} \le \frac 35$

$\Leftrightarrow \frac{2x(3x^2+2)+x^2+4}{(x^2+4)(3x^2+2)} \le \frac 35 $

$ \Leftrightarrow 9x^4-30x^3+27x^2-20x+4 \ge 0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2(3x-2)^2 \ge 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $a=b$ hoặc $3a=2b$

Trả lời 21-12-15 09:09 PM

tran85295
21 2

10M 559K

bỏ mất câu này tiếc ghê – nguyenquangtruonghktcute 21-12-15 09:54 PM

cái này chứng minh tương đương cũng đc mà – nguyenquangtruonghktcute 21-12-15 09:53 PM

score 1 · Answer 2

Bất đẳng thức $\Leftrightarrow \frac{2}{5} - \frac{2ab}{a^2+4b^2}+\frac{1}{5} - \frac{b^2}{3a^2+2b^2}\geqslant 0 $

$ \Leftrightarrow \frac{2a^2-10ab+8b^2}{a^2+4b^2}+\frac{3a^2-3b^2}{3a^2+2b^2}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow \frac{2(a-b)(a-4b)}{a^2+4b^2}+ \frac{3(a-b)(a+b)}{3a^2+2b^2}\geqslant 0 $

$\Leftrightarrow (a-b)[2(a-4b)(3a^2+2b^2) + 3(a+b)(a^2+4b^2)]\geqslant 0$

$\Leftrightarrow (a-b)(9a^3 -21a^2b+16ab^2-4b^3)\geqslant 0 \Leftrightarrow (a-b)^2(3a-2b)^2\geqslant 0$

=> ĐPCM . Dấu "=" xảy ra khi $a=b $ hoặc $ a=\frac{2}{3}b$

Vote giùm đi Trường – ~Kezo~ 23-12-15 09:16 PM

2 Đáp án