bdt

Question

cho $a,b,c$ là ba số không âm sao cho $a+b+c=1 $

CM

$\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\leq \frac{9}{10}$

tran85295 · Answer 1 · 12/9/2015 9:14:32 PM

Ta có $\frac{36a+3}{50}-\frac{a}{a^2+1}=\frac{(3a-1)^2(4a+3)}{50(a^2+1)} \ge0 \hspace{1mm} \forall a \ge0$

$\Rightarrow \frac{a}{a^2+1} \le \frac{36a+3}{50}$

Tương tự ta có $\frac{b}{b^2+1} \le \frac{36b+3}{50};\frac{c}{c^2+1} \le \frac{36c+3}{50}$

Cộng các vế của 3 bđt, ta đc :

$\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}\le\frac{36a+3+36b+3+36c+3}{50}=\frac{36(a+b+c)+9}{50}=\frac{9}{10}$

Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac13$

Trả lời 09-12-15 09:14 PM

tran85295
21 2

10M 559K

score 4 · Answer 2

Xét hàm số: $f(x)=\frac{x}{1+x^2},x\in (0;1)$

$f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$

$f''(x)=\frac{2x(x^2-1)}{(1+x^2)^2}\leq 0$ suy ra hàm $f$ là hàm lõm trên $(0;1)$

Áp dụng BĐT Jensen thì $f(a)+f(b)+f(c)\leq 3f(\frac{a+b+c}{3})=3f(\frac{1}{3})=\frac{9}{10}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Chi can hoc dao ham la duoc vi` bdt nay ko day cho hoc sinh pho thong – Nero 11-12-15 06:32 PM

cái này là lớp 12 phải k – nguyenquangtruonghktcute 10-12-15 11:02 AM

2 Đáp án