Xét F(x)=2013∏n=1(1+nx)F′(x)=2013∑i=1[i1+ix.2013∏n=1(1+nx)]
F″
\Rightarrow F'(0)=1(2+3+4+...+2013)+2(1+3+4+...+2013)+...+2013(1+2+3+4+...+2012)
=(1+2+3+...+2013)^2-(1^2+2^2+3^2+...+2013^2) (1)
Mặt khác: F(x)=\sum_{n=0}^{2013}a_{n}x^n
F'(x)=\sum_{n=1}^{2013}na_{n}x^{n-1}
F''(x)=2a_2+2.3a_3x+...+2013.2012a_{2013}x^{2011}
\Rightarrow F'(0)=2a_2 (2)
Từ (1) và (2), suy ra: a_2=\frac{1}{2}(1+2+3+...+2013)^2-\frac{1}{2}(1^2+2^2+3^2+...+2013^2)
Như vậy: a_2+\frac{1}{2}(1^2+2^2+3^2+...+2013^2)=\frac{1}{2}(1+2+3+...+2013)^2=\frac{1}{2}(\frac{2013.2014}{2})^2