HElpp mee

Question

xét

$(1+x)(1+2x)...(1+2013x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+....+a_{2013}x^{2013}$

Tính

$a_{2}+\frac{1}{2}(1^{2}+2^{2}+...+2013^{2}$

ban oi hinh nhu ban nham de roitinh a2 1/2*(1^2*2^2*3^3.......) trong ngoac la dau nhan moi dung

score 1 · Answer 1

Xét

$F(x)=\prod_{n=1}^{2013}(1+nx)$

$F'(x)=\sum_{i=1}^{2013}[\frac{i}{1+ix}.\prod_{n=1}^{2013}(1+nx)]$

$F''(x)=[2(1+3x)(1+4x)...(1+2013x)+3(1+2x)(1+4x)...(1+2013x)+...+2013(1+2x)(1+3x)...(1+2012x)]+[2(1+2x)(1+4x)...(1+2013x)+2.3(1+x)(1+4x)...(1+2013x)+...+2.2013(1+x)(1+3x)...(1+2012x)]+...+[2013(1+2x)(1+3x)...(1+2012x)+2013.2(1+x)(1+3x)...(1+2012x)+...+2013.2012(1+x)(1+2x)...(1+2011x)]$

$\Rightarrow F'(0)=1(2+3+4+...+2013)+2(1+3+4+...+2013)+...+2013(1+2+3+4+...+2012)$

$=(1+2+3+...+2013)^2-(1^2+2^2+3^2+...+2013^2)$ (1)

Mặt khác:

$F(x)=\sum_{n=0}^{2013}a_{n}x^n$

$F'(x)=\sum_{n=1}^{2013}na_{n}x^{n-1}$

$F''(x)=2a_2+2.3a_3x+...+2013.2012a_{2013}x^{2011}$

$\Rightarrow F'(0)=2a_2$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra:

$a_2=\frac{1}{2}(1+2+3+...+2013)^2-\frac{1}{2}(1^2+2^2+3^2+...+2013^2)$

Như vậy:

$a_2+\frac{1}{2}(1^2+2^2+3^2+...+2013^2)=\frac{1}{2}(1+2+3+...+2013)^2=\frac{1}{2}(\frac{2013.2014}{2})^2$

thien_su_skygardent · Answer 2 · 12/6/2015 12:00:34 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

cho x=0 ->Ao=0=2011C0 ->A2=2011C2

a2+12(12+22+...+20132

=2011C2 +

$\frac{1}{2}(1^{2}+2^{2}+....+2013^{2})$

Trả lời 06-12-15 12:00 PM

thien_su_skygardent
1

26K 15K

Hỏi	05-12-15 11:24 PM
Lượt xem	1913
Hoạt động	09-12-15 09:05 PM

HElpp mee

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

HElpp mee

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan