CMR: $a,b,c>0$ thì :
$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
Có đến không biết bao nhiêu cách các bạn cố gắng tìm hiểu hết nha.

Cách 1
Đặt $t=\frac{a}b+\frac{b}a\geq 2\sqrt{\frac{a}b.\frac{b}a}=2$
$\Rightarrow t^2=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2$
$\Rightarrow BĐT \Leftrightarrow t^2-2\ge t\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\ge 0$ (luôn đúng với $t\ge2$)
Cách 2
$\frac{a^2}{b^2}+1\ge 2\frac{a}b$
$\frac{b^2}{a^2}+1\ge 2\frac{b}a$
$\Rightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2\ge \frac{a}b+\frac{b}a+\frac{a}b+\frac{b}a\geq \frac{a}b+\frac{b}a+2 $
$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
Cách 3
BĐT $\Leftrightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2+b^2)\ge0$ (luôn đúng)

cách 4
$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{b^{2}}\frac{a^{2}}{b^{2}}\frac{b}{a}}=3\frac{a}b$
$\frac{a^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{a}{b}\ge3\sqrt[3]{\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{a}{b}}=3\frac{b}a$
$\Rightarrow 2(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}})+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$
$\Leftrightarrow\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
lúc nào rảnh có thể gõ thêm từ 5-6 cách khác –  ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 18-11-15 09:32 PM
bạn thần thoại có hứng nhể –  111aze 18-11-15 09:31 PM
Sau đây là 1 đáp án:
$\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}}= \frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}b^{2}}=\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2a^{2}b^{2}}=\frac{(a^{2}+b^{2})(a^{2}+b^{2})}{2a^{2}b^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})2ab}{2a^{2}b^{2}}=\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\Leftrightarrow Đpcm.$
Cách 6
 Ta có $(\frac{a^2}{b^2}+1)+(\frac{b^2}{a^2}+1)\geq 2(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$
$\Leftrightarrow \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}a+(\frac{a}{b}+\frac{b}a-2)\geq \frac{a}{b}+\frac{b}a+(2-2)\geq \frac{a}{b}+\frac{b}a$
Cách 5
 $\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\overset{Schwarz}{\ge} \frac{(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})^2}{2}=\frac{(\frac{a^2}{b^2}+1)+(\frac{b^2}{a^2}+1)}{2} \overset{AM-GM}{\ge} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
Cách đầu tiên, cách dễ hiểu nhất
$\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{a^{2}}$, là tổng bình phương ( không phải là bình phương tổng nha ) của vế còn lại nêm chắn vế này lớn hơn. Còn các cách khác thì để từ từ, còn 2 cách nữa e sẽ cố nghĩ nốt, chắc mấy bài này a làm đc hết rồi đúng không
Bạn học thế này là bằng trình độ hsg trên này rồi đó, tuj đi thi mà kết quả như cứt. Tái bút: Cái ĐT tui hỏi bạn là cái bạn viết tắt ở phần dwois kìa, ko phải số ĐT đâu, vs cả BVT, VHB là j, viết hộ ra đi, cứ chơi đuổi hình bắt chữ thế này mệt quá –  hieuprodzai1812 18-11-15 10:07 PM
Có 2 điều tớ muốn hỏi cậu:1. Cậu có có ở HN ko(Tớ ở HN), nếu ko thì ở đâu?2. ĐT là j(-_-)3. cậu học giỏi toán vl, cậu có bí quyết nào ko? –  hieuprodzai1812 18-11-15 09:54 PM
Học trường j mà giỏi vậy –  hieuprodzai1812 18-11-15 09:44 PM
e mới lớp 9 à –  hieuprodzai1812 18-11-15 09:39 PM

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Chat chit và chém gió
  • Việt EL: ... 8/21/2017 8:20:01 AM
  • Việt EL: ... 8/21/2017 8:20:03 AM
  • wolf linhvân: 222 9/17/2017 7:22:51 AM
  • dominhdai2k2: u 9/21/2017 7:31:33 AM
  • arima sama: helllo m 10/8/2017 6:49:28 AM
  • ๖ۣۜGemღ: Mọi người có thắc mắc hay cần hỗ trợ gì thì gửi tại đây nhé https://goo.gl/dCdkAc 12/6/2017 8:53:25 PM
  • anhkind: hi mọi người mk là thành viên mới nè 12/28/2017 10:46:02 AM
  • anhkind: party 12/28/2017 10:46:28 AM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:24 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:25 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:25 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:26 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:27 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:27 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:28 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:29 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:30 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:30 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:31 PM
  • Rushia: .. 2/27/2018 2:09:31 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:32 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:33 PM
  • Rushia: . 2/27/2018 2:09:34 PM
  • ๖ۣۜBossღ: c 3/2/2018 9:20:18 PM
  • nguoidensau2k2: hello 4/21/2018 7:46:14 PM
  • ☼SunShine❤️: Vẫn vậy <3 7/31/2018 8:38:39 AM
  • ☼SunShine❤️: Bên này text chữ vẫn đẹp nhất <3 7/31/2018 8:38:52 AM
  • ☼SunShine❤️: @@ lại càng đẹp <3 7/31/2018 8:38:59 AM
  • ☼SunShine❤️: Hạnh phúc thế sad mấy câu hỏi vớ vẩn hồi trẩu vẫn hơn 1k xem 7/31/2018 8:41:00 AM
  • tuyencr123: vdfvvd 3/6/2019 9:30:53 PM
  • tuyencr123: dv 3/6/2019 9:30:53 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:54 PM
  • tuyencr123: dv 3/6/2019 9:30:54 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:54 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:55 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:55 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:56 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:57 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:58 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:30:59 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:00 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:01 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:01 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:01 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:02 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:03 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:04 PM
  • tuyencr123: d 3/6/2019 9:31:05 PM
  • tuyencr123: đ 3/6/2019 9:31:05 PM
  • tuyencr123: bb 3/6/2019 9:31:06 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:06 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:06 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:07 PM
  • tuyencr123: b 3/6/2019 9:31:38 PM
  • Tríp Bô Hắc: cho hỏi lúc đăng câu hỏi em có thấy dòng cuối là tabs vậy ghi gì vào tabs vậy ạ 7/15/2019 7:36:37 PM
  • khanhhuyen2492006: hi 3/19/2020 7:33:03 PM
  • ngoduchien36: hdbnwsbdniqwjagvb 11/17/2020 2:36:40 PM
  • tongthiminhhangbg: hello 6/13/2021 2:22:13 PM
Đăng nhập để chém gió cùng mọi người
  • hoàng anh thọ
  • Thu Hằng
  • Xusint
  • HọcTạiNhà
  • lilluv6969
  • ductoan933
  • Tiến Thực
  • my96thaibinh
  • 01668256114abc
  • Love_Chishikitori
  • meocon_loveky
  • gaprodianguc95
  • smallhouse253
  • hangnguyen.hn95.hn
  • nguyencongtrung9744
  • tart
  • kto138
  • dphonglkbq
  • ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
  • huyhieu10.11.1999
  • phungduyen1403
  • lalinky.ltml1212
  • trananhvan12315
  • linh31485
  • thananh133
  • Confusion
  • Hàn Thiên Dii
  • •♥•.¸¸.•♥•Furin•♥•.¸¸.•♥•
  • dinhtuyetanh000
  • LeQuynh
  • tuanmotrach
  • bac1024578
  • truonglinhyentrung
  • Lê Giang
  • Levanbin147896325
  • anhquynhthivu
  • thuphuong30012003