Theo bđt Nesbit:xy+z+yx+z+zx+y≥32(∗) thật vậy
VT+3=xy+z+1+yz+x+1+zx+y+1=(x+y+z)(1x+y+1y+z+1z+x)
Nếu đặt x+y=a;y+z=b;z+x=c thì có VT+3=a+b+c2(1a+1b+1c)≥323√abc.33√1abc=92hayVT≥32
Cách khác, BĐT này có thể bằng CM theo BĐT BCS dạng Engel
VT=x2xy+xz+y2yz+yx+z2zx+zy≥(x+y+z)22(xy+yz+zx)
Áp dụng BĐT quen thuộc sau (x+y+z)2≥3(xy+yz+zx)⇔(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≥0
thì ta đã CM đc BĐT Nesbit
Ta lại có:
x+(y+z)AM−GM≥2√x(y+z)
⇔√x(x+y+z)≥2x√y+z
⇔√xy+z≥2xx+y+z
Tương tự ⇔√yx+z≥2yx+y+z;⇔√zx+y≥2xx+y+z
Cộng 3 Bđt ⇒√xy+z+√yx+z+√zx+y>2(x+y+z)x+y+z=2(∗∗) (ở đây đẳng thức ko thể xảy ra vì 3 bđt trên ko đồng thời xảy ra dấu =)
Từ (∗),(∗∗)⇒VT>32+2>3 (đpcm)