$(1+a)(1+b)=\frac94\Leftrightarrow ab+a+b=\frac54$$P= \sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4}\geq \sqrt{(1+1)^2+(a^2+b^2)^2}$ (Minkopxki)
Ta lại có $2a^2+\frac12\ge 2a;2b^2+\frac12\ge 2b; a^2+b^2\ge2ab$
$\Rightarrow 3a^2+3b^2+1\ge 2(ab+a+b)=\frac52\Leftrightarrow a^2+b^2\ge12$
$\Rightarrow P\ge\sqrt{4+\frac14}=\frac{\sqrt{17}}2$
Dấu bằng khi $a=b=\frac12$