$\begin{cases}x^5+y^5=1 \\ (x^4+y^4)(x^5+y^5)=x^9+y^9 \end{cases}$$\Leftrightarrow \begin{cases}x^5+y^5=1 \\ x^4y^5+x^5y^4=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x^5+y^5=1 \\ x^4y^4(x+y)=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases}x^5+y^5=1 \\ y= 0\end{cases}\\ \begin{cases}x^5+y^5=1 \\ x=0 \end{cases} \\ \begin{cases}x^5+y^5=1 \\ x+y=0 \end{cases} \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \begin{cases}x=1 \\ y=0 \end{cases}\\ \begin{cases}x=0 \\ y= 1\end{cases} \end{array} \right.$