Giải như sau:
Đặt $(\sqrt{8^a},\sqrt{8^b},\sqrt{8^c})=(m^2,n^2,p^2)$. Ta đi chứng minh BĐT sau với $mnp=1$ và $m,n,p>0$
$\frac{1}{m^2+n^2+1}+\frac{1}{m^2+p^2+1}+\frac{1}{n^2+p^2+1}\leq 1$
$\Leftrightarrow A=\sum \frac{m^2+n^2}{m^2+n^2+1}\geq 2\Leftrightarrow A=\frac{(m+n)^2+(m-n)^2}{m^2+n^2+1}\geq 4$
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz: $\sum\frac{(m+n)^2}{m^2+n^2+1}\geq \frac{4(m+n+p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}$
Không mất tính tổng quát giả sử $m\geq n\geq p$ thì $\Rightarrow \sum\frac{(m-n)^2}{m^2+n^2+1}\geq \frac{(m-p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}$
Ta đi CM $ \frac{(m-p)^2+4(m+n+p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}\geq 4$
$\Leftrightarrow (m+n+p)^2+(m-p)^2\geq 2(m^2+n^2+p^2)+mn+mp+np$
$\Leftrightarrow (n-m)(p-n)\geq 0$ ( đúng)
Do đó ta có đpcm