Chứng minh BĐT

Question

Cho

$a+b+c = 0$ chứng minh

$\frac{1}{8^{\frac{a}{2}}+8^{\frac{b}{2}}+1}+\frac{1}{8^{\frac{b}{2}}+8^{\frac{c}{2}}+1}+\frac{1}{8^{\frac{c}{2}}+8^{\frac{a}{2}}+1} \leq 1$

score 0 · Answer 1

Giải như sau:

Đặt

$(\sqrt{8^a},\sqrt{8^b},\sqrt{8^c})=(m^2,n^2,p^2)$ . Ta đi chứng minh BĐT sau với

$mnp=1$ và

$m,n,p>0$

$\frac{1}{m^2+n^2+1}+\frac{1}{m^2+p^2+1}+\frac{1}{n^2+p^2+1}\leq 1$

$\Leftrightarrow A=\sum \frac{m^2+n^2}{m^2+n^2+1}\geq 2\Leftrightarrow A=\frac{(m+n)^2+(m-n)^2}{m^2+n^2+1}\geq 4$

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:

$\sum\frac{(m+n)^2}{m^2+n^2+1}\geq \frac{4(m+n+p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}$

Không mất tính tổng quát giả sử

$m\geq n\geq p$ thì

$\Rightarrow \sum\frac{(m-n)^2}{m^2+n^2+1}\geq \frac{(m-p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}$

Ta đi CM

$\frac{(m-p)^2+4(m+n+p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}\geq 4$

$\Leftrightarrow (m+n+p)^2+(m-p)^2\geq 2(m^2+n^2+p^2)+mn+mp+np$

$\Leftrightarrow (n-m)(p-n)\geq 0$ ( đúng)

Do đó ta có đpcm

score 0 · Answer 2

Tương đương bài toán sau:

Cho

$a,b,c$ thực dương thỏa

$abc=1$ .Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq1$

2 Đáp án