Đặt $a=\frac{z}{x};b=\frac{z}{y},$ ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}=0\Leftrightarrow \frac{z}{x}+\frac{z}{y}=2\Leftrightarrow a+b=2.$
$A=\frac{x+z}{2x-z}+\frac{y+z}{2y-z}=\frac{1+\frac{z}{x}}{2-\frac{z}{x}}+\frac{1+\frac{z}{y}}{2-\frac{z}{y}}=\frac{1+a}{2-a}+\frac{1+b}{2-b}=\frac{1+a}{b}+\frac{1+b}{a}$
$=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq \frac{4}{a+b}+2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=4.$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}a=b \\ a+b=2 \end{cases}\Leftrightarrow a=b=1\Leftrightarrow x=y=z.$