Cho $a,b,c>0;a+b+c=1$. Tìm max $P=\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{c}{c^2+1}$Trước hết ta có nhận xét: (Cái này các bạn viết ra nháp)
Ta xét hàm số $f(x)=\frac{x}{x^2+1}(D=(0;1))$
Ta tính đc $f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$
Tiếp tuyến của đồ thị tại $x=1/3$ là $g(x)=\frac{18x}{25}+\frac{3}{50}$
Sau đây là bài giải chi tiết: (Phần làm vào bài thi)
Ta có $\frac{a}{a^2+1}-\frac{18a}{25}-\frac{3}{50}=\frac{-(4a+3)(3a-1)^2}{50(a^2+1)}\leq 0$
$\Rightarrow \frac{a}{a^2+1}\leq \frac{18a}{25}+\frac{3}{50}$, dấu = có khi $a=1/3$
Chứng minh tương tự với 2 số hạng còn lại trong P ta đc:
$P\leq \frac{18}{25}(a+b+c)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}$
Dấu = có khi $a=b=c=1/3$