Giúp BĐT lớp 10

Question

CM BĐT

$|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|+|x+y+z|\geq2(|x|+|y|+|z|)$

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 1 · 1/31/2015 11:01:04 PM

Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất trong 3 số x,y,z cùng dấu

Giả sử là x và y

TH1 x,y,z cùng dấu

theo BĐT

$|a+b+c|\leq |a|+|b|+|c|$

$(1)$ với dấu

$=$ tại

$a,b,c$ cùng dấu thì

$=> |x+y+z|=|x|+|y|+|z|$

$(*)$

Ta lại có Áp dụng BĐT

$|a|+|b|\geq |a+b|$

$(2)$

$|x+y-z|+|x-y+z|\geq 2|x|$

$|x-y+z|+|-x+y+z|\geq 2|z|$

$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$

Từ đó =>

$|x+y-z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$

$(**)$

Từ (*) và (**) => đpcm

TH2 x,y,-z cùng dấu, theo

$(1)$ thì

$|x+y-z|=|x|+|y|+|z|$

$(***)$

Áp dụng

$(2)$

$|x+y+z|+|x-y+z|=|x+y+z|+|-x+y-z|\geq 2|x|$

$|x+y+z|+|-x+y+z|=|x+y+z|+|x-y-z|\geq 2|z|$

$|x+y-z|+|-x+y+z|\geq 2|y|$

Từ đó suy ra

$|x+y+z|+|x-y+z|+|-x+y+z|\geq |x|+|y|+|z|$

$(****)$

Từ (***) và (****) suy ra đpcm

Dấu = xảy ra tại

$(x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)(x+y+z)\geq 0$

1 Đáp án