Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất trong 3 số x,y,z cùng dấuGiả sử là x và yTH1 x,y,z cùng dấutheo BĐT |a+b+c|≤|a|+|b|+|c| (1) với dấu = tại a,b,c cùng dấu thì =>|x+y+z|=|x|+|y|+|z| (∗)Ta lại có Áp dụng BĐT |a|+|b|≥|a+b| (2)|x+y−z|+|x−y+z|≥2|x||x−y+z|+|−x+y+z|≥2|z||x+y−z|+|−x+y+z|≥2|y|Từ đó => |x+y−z|+|x−y+z|+|−x+y+z|≥|x|+|y|+|z| (∗∗)Từ (*) và (**) => đpcmTH2 x,y,-z cùng dấu, theo (1) thì |x+y−z|=|x|+|y|+|z| (∗∗∗)Áp dụng (2)|x+y+z|+|x−y+z|=|x+y+z|+|−x+y−z|≥2|x||x+y+z|+|−x+y+z|=|x+y+z|+|x−y−z|≥2|z||x+y−z|+|−x+y+z|≥2|y|Từ đó suy ra |x+y+z|+|x−y+z|+|−x+y+z|≥|x|+|y|+|z|(∗∗∗∗)Từ (***) và (****) suy ra đpcmDấu = xảy ra tại (x+y−z)(x−y+z)(−x+y+z)(x+y+z)≥0
Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất trong 3 số x,y,z cùng dấuGiả sử là x và yTH1 x,y,z cùng dấutheo BĐT |a+b+c|≤|a|+|b|+|c| (1) với dấu = tại a,b,c cùng dấu thì =>|x+y+z|=|x|+|y|+|z| (∗)Ta lại có Áp dụng BĐT |a|+|b|≥|a+b| (2)|x+y−z|+|x−y+z|≥2|x||x−y+z|+|−x+y+z|≥2|z||x+y−z|+|−x+y+z|≥2|y|Từ đó => |x+y−z|+|x−y+z|+|−x+y+z|≥|x|+|y|+|z| (∗∗)Từ (*) và (**) => đpcmTH2 x,y,-z cùng dấu, theo (1) thì |x+y−z|=|x|+|y|+|z| (∗∗∗)Áp dụng (2)|x+y+z|+|x−y+z|=|x+y+z|+|−x+y−z|≥2|x|
Theo nguyên lý Dirichlet, luôn tồn tại ít nhất trong 3 số x,y,z cùng dấuGiả sử là x và yTH1 x,y,z cùng dấutheo BĐT
|a+b+c|≤|a|+|b|+|c| (1) với dấu
= tại
a,b,c cùng dấu thì
=>|x+y+z|=|x|+|y|+|z| (∗)Ta lại có Áp dụng BĐT
|a|+|b|≥|a+b| (2)|x+y−z|+|x−y+z|≥2|x||x−y+z|+|−x+y+z|≥2|z||x+y−z|+|−x+y+z|≥2|y|Từ đó =>
|x+y−z|+|x−y+z|+|−x+y+z|≥|x|+|y|+|z| (∗∗)Từ (*) và (**) => đpcmTH2 x,y,-z cùng dấu, theo
(1) thì
|x+y−z|=|x|+|y|+|z| (∗∗∗)Áp dụng
(2)|x+y+z|+|x−y+z|=|x+y+z|+|−x+y−z|≥2|x||x+y+z|+|−x+y+z|=|x+y+z|+|x−y−z|≥2|z||x+y−z|+|−x+y+z|≥2|y|Từ đó suy ra |x+y+z|+|x−y+z|+|−x+y+z|≥|x|+|y|+|z|(∗∗∗∗)Từ (***) và (****) suy ra đpcmDấu = xảy ra tại (x+y−z)(x−y+z)(−x+y+z)(x+y+z)≥0