BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC.

Question

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a/ $a^{4}+b^{4}\geq a^{3}\times b+a\times b^{3};\forall a,b\geq 0$

b/ $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}};\forall a,b,c\in R$

c/ $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+a\times b};\forall a,b\geq 1$

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 1 · 12/26/2014 9:17:55 PM

Câu a làm như của Gia Hưng cũng được, còn đây là làm the BĐT Cô si

$ a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$

$=\frac{(a^2+b^2)(a^2+b^2)}{2}$

$\geq \frac{(a^2+b^2)2ab}{2} $

$=(a^2+b^2)ab$

$=a^3b+ab^3$

Trả lời 26-12-14 09:17 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
1

10M 1M

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 2 · 12/25/2014 9:20:28 PM

b/ Đề phải là $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

Đây là BĐT minkopxki

Bình phương 2 vế ta được

<=> $a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\geq a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd$

<=> $\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\geq ac+bd$

Nếu VP<0 => BĐt luôn đúng

Với VP \geq0 bình phương 2 vế

<=> $a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\geq a^2c^2+b^2d^2+2abcd$

<=> $(ad-bc)^2\geq 0$ đây là hiển nhiên

Dấu $=$ xảy ra tại $ad=bc$ hay $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Trả lời 25-12-14 09:20 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
1

10M 1M

score 0 · Answer 3

Câu 2 Câu 3 cũng đều là biến đổi tương đương cứ bình phương rồi nhân tung tóe ra là xong

score 0 · Answer 4

câu 1 :Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$a^{4}+b^{4}-a^{3}b-ab^{3}\geq 0$

$(a^{3}-b^{3})(a-b)\geq 0$

$ (a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0$ (Đúng)

4 Đáp án