Bất đẳng thức

Question

Cho

$a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)}\geq \frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}.$

score 1 · Answer 1

Cách khác cho bài này:

Quy đồng chuyển vế BĐT cần chứng minh có dạng:

$\frac{a(b-c)}{c(a+c)}+\frac{b(c-a)}{a(a+b)}+\frac{c(a-b)}{b(b+c)}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{ab+c^2}{ac+c^2}+\frac{bc+a^2}{a^2+ab}+\frac{ac+b^2}{b^2+bc}\geq 3$

$\frac{y+z}{1+z}+\frac{z+x}{1+x}+\frac{x+y}{1+y}\geq 3$ trong đó

$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c},z=\frac{c}{a}\Rightarrow xyz=1$

Biến đổi tương đương thì có

$x^2+y^2+z^2+xy^2+z^2y+x^2z\geq x+y+z +3$ đã CM ở trên hoặc cũng có thể tiếp tục đổi biến để thu được BBĐT Schur bậc 3

score 1 · Answer 2

Đặt

$x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}$ thì

$x,y,z>0$ và

$xyz=1$

Nên

$\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)}\geq \frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+b}$

$\Leftrightarrow \frac{x-1}{y+1}+\frac{y-1}{z+1}+\frac{z-1}{x+1}\geq 0$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+xy^2+yz^2+zx^2\geq x+y+z+3$

Ta có:

$xy^2+yz^2+zx^2\geq 3xyz=3$

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{1}{3}(x+y+z)^2\geq (x+y+z)\sqrt[3]{xyz}=x+y+z$

Cộng lại ta có đpcm

2 Đáp án