Hệ phương trình

Question

Giải hệ phương trình:

$\begin{cases}e^{x-y}+e^{x+y}=2(x+1) \\ e^{x+y}=x-y+1 \end{cases}$

score 1 · Answer 1

Lấy

$(1)-2(2)$ ta được

$e^{x-y}-e^{x+y}=2y$

$\Leftrightarrow e^{x-y}+x-y=e^{x+y}+x+y$

$\Leftrightarrow f(x-y)=f(x+y)$

$(*)$

Xét hàm số

$f(t)=e^t+t$ thì có

$f'(t)=e^t+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow$ Hàm

$f$ đồng biến trên

$\mathbb{R}$

Từ đó:

$(*)\Leftrightarrow x-y=x+y\Leftrightarrow y=0$

Thế vào

$(2)\Leftrightarrow e^x=x+1\Rightarrow x>-1$

Xét hàm số

$f(x)=e^x-x-1$ trên khoảng

$(-1;+\infty )$ thì có

$f'(x)=e^x-1$

Theo Rolle thì

$f'(x)=0$ có 1 nghiệm thì

$f(x)=0$ có tối đa 2 nghiệm

Mà

$f(0)=0$ nên

$x=0$ là nghiệm duy nhất

Vậy

$(x;y)=(0;0)$

làm sao biết f(x) có đúng 1 ngiệm mà đã kết luận rồi? – Laughing 04-12-14 03:49 PM

1 Đáp án