Bất đẳng thức khó mọi người giúp với

Question

Bài 1: Cho a,b,c>0 và

$a^2+b^2+c^2=3$ . CMR:

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\geq3$

Bài 2: Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR:

$\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}\leq \frac{1}{2}$

Bài 3: Cho a,b,c>0 và abc=1. CMR: a)

$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

b)

$\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+c)(1+a)}+\frac{c^3}{(1+a)(1+b)}\geq \frac{3}{4}$

c)

$\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\leq1$

Bài 4: Cho a,b,c>0 và abc=8. CMR:

$\frac{1}{\sqrt{1+a^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^3}}\geq1$

Bài 5: Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR:

$\frac{(b+c-a)^4}{a(a+b-c)}+\frac{(c+a-b)^4}{b(b+c-a)}+\frac{(a+b-c)^4}{c(c+a-b)}\geq$

$ab+bc+ca$

Bài 6: Cho a,b,c,d>0.CMR:

$\frac{b(a+c)}{c(a+b)}+\frac{c(b+d)}{d(b+c)}+\frac{d(a+c)}{a(c+d)}+\frac{a(b+d)}{b(d+a)}\geq4$

Bài 3b là bài IMO shortlist 1998 lên mạng mà tìm.3a là IMO 1995,3c là IMO shortlist 1996
e lên chia thành nhiều câu hỏi đăng mục hỏi đáp nhé ! để tiện cho các Admin giải bài.

score 1 · Answer 1

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Bài 6:

HD:Sử dụng bất đẳng thức

$ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$ .Dấu bằng xảy ra khi

$a=c>0,b=d>0$

bạn làm rõ giúp mình bài 4 luôn dc ko sao mình biến đổi ra khác bạn – Optimus Prime 06-11-14 09:53 PM

có mai nộp bài rồi – Optimus Prime 06-11-14 09:51 PM

có cần gấp ko nều không để mai về làm cho – WhjteShadow 06-11-14 09:27 PM

bạn chỉ rõ áp dụng cho cái nào dc ko sao mình làm ko dc – Optimus Prime 06-11-14 09:15 PM

sao cau 6 minh lam ko ra nho ban giai chi tiet cai – thuytailvt 05-11-14 04:03 PM

tks nguyên nhiều nhé – Optimus Prime 04-11-14 09:32 PM

score 1 · Answer 2

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Bài 6:

Vẫn sử dụng AM-GM ta có:

$\frac{(b+c-a)^2}{a(a+b-c}+a(a+b-c)\geq 2(b+c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2)+4(bc-ca-ab)$

$\frac{(c+a-b)^2}{b(b+c-a)}+b(b+c-a)\geq 2(c+a-b)^2=2(a^2+b^2+c^2)+4(ca-ab-bc)$

$\frac{(a+b-c)^4}{c(a+c-b)}+c(a+c-b)\geq 2(a+b-c)^2=2(a^2+b^2+c^2)+4(ab-bc-ac)$

Cộng tất cả lại thì được và bớt đi phần thêm vào:

$M\geq 5(a^2+b^2+c^2)-4(ab+bc+ac)$ .Cần CM

$5(\sum a^2)-4(\sum ab) \geq \sum ab$

Chuyển vế ta có

$5(a^2+b^2+c^2)\geq 5(ab+bc+ac)$ đây là bđt quen thuộc

lịch sử

viết đầy dủ la 5(a^2 b^2 c^2)>=5(ab bc ac) viết kí hiệu kia là viết tăt nghĩa là tổng ở đây là tổng đối xứng – WhjteShadow 05-11-14 02:37 PM

bạn ơi cái đoạn 5a^2>5ab cm thế nào vậy bạn – Optimus Prime 05-11-14 02:25 PM

score 2 · Answer 3

Bài 3c.

Ta có:

$a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$

$=(a+b)[a^2b^2+a^3(a-b)-b^3(a-b)]$

$=(a+b)[a^2b^2+(a-b)(a^3-b^3)]$

$=(a+b)[a^2b^2+(a-b)^2(a^2+ab+b^2)]\geq (a+b)a^2b^2$

Tương tự:

$b^5+c^5\geq (b+c)b^2c^2;c^5+a^5\geq (c+1)c^2a^2$

Từ đó suy ra:

$\sum\frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq \sum\frac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\sum\frac{1}{ab(a+b)+1}\leq \sum\frac{1}{ab(a+b+c)}=\sum\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$ (đpcm)

score 2 · Answer 4

Bài 3b.

Ta có:

$\sum \frac{a^3}{(1+b)(1+c)}=a^4+a^3\geq \frac{3}{4}(a+1)(b+1)(c+1)$

Ta phải chứng minh BĐT sau:

$\sum (a^4+a^3)\geq \frac{1}{4}\sum(a+1)^3$

Xét hàm số

$f(t)=t^4+t^3-\frac{1}{4}(t+1)^3$

$g(t)=(t+1)(4t^2+3t+1)$ thì

$f(t)=\frac{1}{4}(t-1).g(t)$

Nhận thấy

$g(t)$ tăng trong khoảng

$(0;+\infty )$ và

$g(t)>0,\forall t>0$

Do đó:

$\sum(a^4+a^3)-\frac{1}{4}\sum(a+a)^3=\sum f(a)=\frac{1}{4}\sum(a-1).g(a)$

Không mất tính tổng quát ta giả sử:

$a\geq b\geq c$ thì

$g(a)\geq g(b)\geq g(c)>0$

Vì

$abc=1$ nên ta có:

$a\geq 1,c\leq 1$

Từ đó:

$(a-1)g(a)\geq (a-1)g(b)$

$(c-1)g(b)\leq (c-1)g(c)$

Nên ta có:

$\frac{1}{4}\sum(a-1)g(a)\geq \frac{1}{4}g(b)\sum(a-1)=\frac{1}{4}g(b)\sum a-\frac{3}{4}g(b)\geq \frac{3}{4}(\sqrt[3]{abc}-1).g(b)=0$

Dấu = xảy ra

$\Leftrightarrow a=b=c=1$ . Từ đó

$\Rightarrow đpcm$

bài này không cần xét hàm đâu dài và phức tạp...

score 1 · Answer 5

Bài 4:

$\frac{1}{\sqrt[3]{1+a^3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{(1+a)(1-a+a^2)}}\geq \frac{2}{2+a^2}$ (AM-GM 2 số)

Tương tự thì có

$\sum\frac{1}{\sqrt[3]{1+a^3}}\geq \sum \frac{2}{2+a^2}$

Bất đẳng thức quy về CM:

$\frac{2}{2+a^2}+\frac{2}{2+b^2}+\frac{2}{c^2+2}\geq1$

Biến đổi tương đương(quy đồng rút gọn) thì bđt cần cm có dạng

$8+2(a^2+b^2+c^2)\geq \frac{1}{2}(abc)^2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq12$

Mà theo AM-GM thì

$a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=12$

score 1 · Answer 6

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Bài 2:

$\sqrt{a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{(a+b)(a+c)}$ (Do a+b+c=1)

$\frac{bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{bc}{2}(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c})(AM-GM 2 số)$

Tương tự rồi cộng lại thì có:

$B\leq \frac{bc}{2(a+b)}+\frac{bc}{2(a+c)}+\frac{ca}{2(b+c)}+\frac{ca}{2(b+a)}+\frac{ab}{2(c+a)}+\frac{ab}{2(c+b)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}$

score 1 · Answer 7

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

Câu 1:

Bình phương lên bất đẳng thức cần CM có dạng :

$\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2(a^2+b^2+c^2)\geq 9=3(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow \sum\frac{a^2b^2}{c^2} \geq a^2+b^2+c^2$

Ta có các đánh giá sau

$\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}\geq 2b^2,...$ làm tương tự rồi cộng lại có đpcm

Hỏi	04-11-14 06:15 PM
Lượt xem	3693
Hoạt động	04-11-14 09:29 PM

Bất đẳng thức khó mọi người giúp với

7 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bất đẳng thức khó mọi người giúp với

7 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan