giúp mình với mn xin mn giúp với

Question

với

$x, y, z \geq 0$ chứng minh rằng

$8(x^{3}+y^{3}+z^{3}) \geq 9(x^{2}+yz)(y^{2}+xz)(z^{2}+cy)$

score 0 · Answer 1

Theo mình BĐT đúng phải là:

$8(x^3+y^3+z^3)^2\ge9(x^2+yz)(y^2+xz)(z^2+xy)$

Xét hiệu:

$P=8(x^3+y^3+z^3)^2-9(x^2+yz)(y^2+xz)(z^2+xy)$

$=8(x^6+y^6+z^6)+7(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)-9(x^4yz+xy^4z+xyz^4)-18x^2y^2z^2$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$3(x^6+x^3y^3+x^3z^3)\ge9x^4yz$

$3(y^6+x^3y^3+y^3z^3)\ge9xy^4z$

$3(z^6+x^3z^3+y^3z^3)\ge9xyz^4$

$5(x^6+y^6+z^6)\ge15x^2y^2z^2$

$x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3\ge3x^2y^2z^2$

$\Rightarrow 8(x^6+y^6+z^6)+7(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)\ge9(x^4yz+xy^4z+xyz^4)+18x^2y^2z^2$ .

$\Leftrightarrow 8(x^3+y^3+z^3)^2\ge9(x^2+yz)(y^2+xz)(z^2+xy)$

1 Đáp án