số nhỏ nhất có 10 chữ số là 1.000.000.000
gọi số phải tìm dạng n = $\overline{abcdefghij}$
Theo giả thiết số đó chia hết cho 5 dư 3 vậy j phải là 3 hoặc 8.
mặt khác số đó chia cho 619 dư 327
gọi m là phép kết quả phép chia của n cho 619 dưa 327
như vậy m = (n-327)/619 >(1.000.000.000-327)/619 >1.615.508,5
Xét trường hợp 1 j = 3
Như vậy số tận cùng của m*619 phải là 6 hay m tận cùng phải là 4
vậy m >1.615.508,5 và m tận cùng là 4 thì m chỉ co thể là 1.615.514
hay n = 1.615.514*619+327 = 1.000.003.493 (*)
Xét trường hợp 2 j = 8
Như vậy số tận cùng của m*619 phải là 1 hay m tận cùng phải là 9
vậy m >1.615.508,5 và m tận cùng là 4 thì m chỉ co thể là 1.615.509
hay n = 1.615.509*619+327 = 1.000.000.398 (**)
so sánh (*) và (**) ta được số thoả mãn điều kiện đầu bài là 1.000.000.398