Giúp với

Question

Cho cấp số cộng

$(u_n)$ có

$\frac{u_m}{u_n}=\frac{m}{n}(m\neq n)$ .CMR:

$\frac{S_m}{S_n}=\frac{m(m+1)}{n(n+1)}$

score 1 · Answer 1

Giả sử

$d$ là công sai của CSC trên thì ta có:

$u_m=u_1+(m-1).d;u_n=u_1+(n-1).d$

Vì

$\frac{u_m}{u_n}=\frac{m}{n}$ nên ta có:

$\frac{u_1+(m-1).d}{u_1+(n-1).d}=\frac{m}{n}$

$\Rightarrow n.u_1+n(m-1).d=mu_1+m(n-1).d$

$\Leftrightarrow (n-m).u_1+d.(nm-n-nm+m)=0$

$\Leftrightarrow (n-m)(u_1-d)=0$

Do

$n\neq m$ nên

$u_1=d$

Từ đó có

$Sm=d+2d+...+md;Sn=d+2d+...+nd$

$\Rightarrow Sm=d(1+2+...+m);Sn=d(1+2+...+n)$

$\Rightarrow \frac{Sm}{Sn}=\frac{1+2+...+m}{1+2+...+n}$

Ta tính được

$1+2+...+m=\frac{m(m+1)}{2};1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

$\Rightarrow \frac{Sm}{Sn}=\frac{m(m+1)}{n(n+1)}$

1 Đáp án