Giải phương trình

Question

GPT

$13\sqrt{x-x^2} + 9\sqrt{x+x^2} =16$

★★.P.I.N.O.★★ · Answer 1 · 8/27/2015 1:29:57 PM

ĐK:

$0\leq x \leq1$

Với ĐK trên PT

$\Leftrightarrow \sqrt{x}.(13\sqrt{1-x}+9\sqrt{1+x})=16$

$\Leftrightarrow x.(13\sqrt{1-x}+9\sqrt{1+x})^2=16^2$

Áp dụng BĐT CBS ta được:

$(13\sqrt{1-x}+9\sqrt{1+x})^2=(\sqrt{13}.\sqrt{13}.\sqrt{1-x}+3\sqrt{3}.\sqrt{3}.\sqrt{1+x})^2=256$

$\leq (13+27)[13(1-x)+3(1+x)]=40(16-x)$

Từ đó có

$VT \leq x.40.(16-10x)=4.10x.(16-10x)$

Theo Cosi 2 số dương thì

$10x.(26-10x)\leq[\frac{10x+16-10x}{2}]^2=64$

Do đó

$VT\leq 4.64=256$

Dấu = xảy ra khi

$\begin{cases}\sqrt{1-x}= \frac{\sqrt{1+x}}{3}\\ 10x=16-10x \end{cases}$

Từ đó được:

$\color{red}{\boxed{x=\frac{4}{5}}}$

score 1 · Answer 2

ĐK:

0≤x≤1

Với ĐK trên PT

⇔x√.(131−x−−−−√+91+x−−−−√)=16

⇔x.(131−x−−−−√+91+x−−−−√)2=162

Áp dụng BĐT CBS ta được:

(131−x−−−−√+91+x−−−−√)2=(13−−√.13−−√.1−x−−−−√+33√.3√.1+x−−−−√)2=256≤(13+27)[13(1−x)+3(1+x)]=40(16−x)

Từ đó có

VT≤x.40.(16−10x)=4.10x.(16−10x)

Theo Cosi 2 số dương thì

10x.(26−10x)≤[10x+16−10x2]2=64

Do đó

VT≤4.64=256

Dấu = xảy ra khi

{1 - x - - - - \sqrt = 1 + x \sqrt 3 10 x = 16 - 10 x

Từ đó dc

x=45

2 Đáp án