toán khó đây, vào giải đi mọi người

Question

1,cho các số dương a,b,c thỏa mãn $a+b+c\leq3$.

chứng minh rằng: $\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2009}{ab+bc+ca}\geq670$

2,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}$ với x>0; y>0; z>0 và $ \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$

3,cho 3 số x,y,z thỏa mãn hệ thức: $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=6$. xét biểu thức $P=x+y^2+z^3$.

a,cmr: $P\geq x+2y+3z-3$

b, tìm giá trị nhỏ nhất của P

score 3 · Answer 1

Câu 3:

a)$P\geq x+2y+3z-3\Leftrightarrow y^2+z^3\geq 2y+3z-3$

Có $y^2+1\geq 2y ; z^3+1+1\geq3z$(BĐT Cosi)

$\Rightarrow y^2+z^3\geq 2y+3z-3\Leftrightarrow x+y^2+z^3\geq x+2y+3z-3$

Kết hợp với đk thì ta có dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

b) Có $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z}=\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}+\frac{9}{3z}\geq \frac{(1+2+3)^2}{x+2y+3z}$

$\Rightarrow \frac{1}{x+2y+3z}\leq \frac{1}{6}\Rightarrow x+2y+3z\geq 6$

Mà $P\geq x+2y+3z-3 \Rightarrow Min P=3$

Dấu = xảy ra như trên

score 2 · Answer 2

Câu 1:

$A=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{2(ab+bc+ac)}+\frac{2007}{ab+bc+ac}$

$\Rightarrow A\geq \frac{(1+2)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}+\frac{2007}{ab+ac+bc}$(BĐT Bunhia dạng cộng mẫu)

$\Rightarrow A\geq \frac{9}{(a+b+c)^2}+\frac{2007}{ab+ac+bc}$

Có $3(ab+ac+bc)\leq (a+b+c)^2\Rightarrow ab+bc+ac\leq3$ Mà $a+b+c\leq3$ nên $(a+b+c)^2\leq9$

Từ đó $A\geq 1+\frac{2007}{3}=670$.Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$

học trên diễn đàn học mãi mà bn. – WhjteShadow 21-09-14 10:46 AM

Trần Phương là thầy bạn à? – dolaemon 21-09-14 10:45 AM

ừ cái này là tư liệu của thầy trần phương rất bổ ích bn ạ – WhjteShadow 21-09-14 10:43 AM

để t hỏi ông Châu nhé – dolaemon 21-09-14 10:37 AM

chính xác là BĐT CBS dạng Engel bn ạ – WhjteShadow 21-09-14 09:50 AM

BĐT Bunhia dạng cộng mẫu là BĐT Swatchz thì phải – dolaemon 20-09-14 09:54 PM

score 3 · Answer 3

Câu 2:

Đặt $B=\frac{y^2}{x+y}+\frac{z^2}{y+z}+\frac{x^2}{z+x}$

Xét $A-B=x-y+y-z+z-x=0\Rightarrow A=B$

$2A=\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{z^2+y^2}{z+y}+\frac{z^2+x^2}{z+x}$

Có $\sqrt{2(x^2+y^2)}\geq x+y\Rightarrow (x^2+y^2)\geq \frac{(x+y)^2}{2}$

Tương tự với 2 phân thức còn lại ta đc:$2A\geq \frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}$

Áp dụng bđt Côsi $\Rightarrow 2A\geq \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=1$

Min $A=\frac{1}{2}$ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$

3 Đáp án