Em ko hiểu lắm mong các anh giải thích kĩ

Question

Cho a,b,c dương thỏa

$a^{2}+b^{2}+c^{2} =12$ .Tìm

$Min$

$P=\frac{1}{\sqrt[3]{1+a^3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{1+b^3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{1+c^3}}$

score 5 · Answer 1

Mình nghĩ đề bài như sau:Cho

$a^2+b^2+c^2=12$ Min F=

$\frac{1}{\sqrt{1+a^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^3}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^3}}$

Có

$\frac{1}{\sqrt{1+a^3}}=\frac{1}{\sqrt{(1+a)(1-a+a^2)}}\geq \frac{2}{(1+a)(1-a+a^2)}=\frac{2}{1+a^2}$ (BĐT Cô si ở mẫu)

Tương tự ta có

$\frac{1}{\sqrt{1+b^3}}\geq \frac{2}{1+b^2},\frac{1}{\sqrt{1+c^3}}\geq \frac{2}{1+c^2}$

$\Rightarrow F \geq \frac{2}{1+a^2}+\frac{2}{1+b^2}+\frac{2}{1+c^2}$

Ta sẽ đi cm

$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum_{cyc}^{} (1+a^2)(1+b^2)\geq \frac{1}{2}(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)$

$\Leftrightarrow 8+2(a^2+b^2+c^2)\geq\frac{1}{2}a^2b^2c^2$

$\Leftrightarrow a^2b^2c^2\leq 64$

Do

$a^2+b^2+c^2\geq3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \Rightarrow a^2b^2c^2\leq64(đúng)$

Vậy min F=1 khi

$a=b=c=2$

1 Đáp án