Ta có: n5−n=n(n2−1)(n2+1)
Vì n lẻ nên n2−1≡0(mod 8);n2+1≡0(mod 2)⇒n5−n≡0(mod 16).
Nếu n≡0(mod 3)⇒n5−n≡0(mod 3)
Nếu n≢mod 3)\Rightarrow n^2-1\equiv0\;(mod 3)\Rightarrow n^5-n\equiv0\;(mod 3)
Suy ra: n^5-n\equiv0\;(mod 3) với mọi n lẻ.
Nếu n\equiv0\;(mod 5)\Rightarrow n^5-n\equiv0\;(mod 5)
Nếu n\equiv1\;(mod 5) hoặc n\equiv4\;(mod 5)\Rightarrow n^2-1\equiv0\;(mod 5)\Rightarrow n^5-n\equiv0\;(mod 5)
Nếu n\equiv2\;(mod 5) hoặc n\equiv3\;(mod 5)\Rightarrow n^2+1\equiv0\;(mod 5)\Rightarrow n^5-n\equiv0\;(mod 5)
Suy ra: n^5-n\equiv0\;(mod 5) với mọi n lẻ.
Từ đó suy ra được: n^5-n chia hết cho 240 với mọi n lẻ.