Ta có: n5−n=n(n2−1)(n2+1)
Vì n lẻ nên n2−1≡0(mod 8);n2+1≡0(mod 2)⇒n5−n≡0(mod 16).
Nếu n≡0(mod 3)⇒n5−n≡0(mod 3)
Nếu n≢0(mod 3)⇒n2−1≡0(mod 3)⇒n5−n≡0(mod 3)
Suy ra: n5−n≡0(mod 3) với mọi n lẻ.
Nếu n≡0(mod 5)⇒n5−n≡0(mod 5)
Nếu n≡1(mod 5) hoặc n≡4(mod 5)⇒n2−1≡0(mod 5)⇒n5−n≡0(mod 5)
Nếu n≡2(mod 5) hoặc n≡3(mod 5)⇒n2+1≡0(mod 5)⇒n5−n≡0(mod 5)
Suy ra: n5−n≡0(mod 5) với mọi n lẻ.
Từ đó suy ra được: n5−n chia hết cho 240 với mọi n lẻ.