Ta có: $n^5-n=n(n^2-1)(n^2+1)$
Vì $n$ lẻ nên $n^2-1\equiv0\;($mod $8);n^2+1\equiv0\;($mod $2) \Rightarrow n^5-n\equiv0\;($mod $16)$.
Nếu $n\equiv0\;($mod $3)\Rightarrow n^5-n\equiv0\;($mod $3)$
Nếu $n\not\equiv0\;($mod $3)\Rightarrow n^2-1\equiv0\;($mod $3)\Rightarrow n^5-n\equiv0\;($mod $3)$
Suy ra: $n^5-n\equiv0\;($mod $3)$ với mọi $n$ lẻ.
Nếu $n\equiv0\;($mod $5)\Rightarrow n^5-n\equiv0\;($mod $5)$
Nếu $n\equiv1\;($mod $5)$ hoặc $n\equiv4\;($mod $5)\Rightarrow n^2-1\equiv0\;($mod $5)\Rightarrow n^5-n\equiv0\;($mod $5)$
Nếu $n\equiv2\;($mod $5)$ hoặc $n\equiv3\;($mod $5)\Rightarrow n^2+1\equiv0\;($mod $5)\Rightarrow n^5-n\equiv0\;($mod $5)$
Suy ra: $n^5-n\equiv0\;($mod $5)$ với mọi $n$ lẻ.
Từ đó suy ra được: $n^5-n$ chia hết cho 240 với mọi $n$ lẻ.