Để ý rằng \dfrac{1}{k(1999-k)}=\dfrac{1}{1999}\left(\dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{1999-k}\right) với mọi 1\leq k\leq 1998
Khi đó S=\dfrac{1}{1999}\left[ \left(\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1998}\right) +\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{1997}\right) +...+\left(\dfrac{1}{1998}+\dfrac{1}{1}\right)\right]
S=\dfrac{1}{1999}.2\left[\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{1998}\right]
Dễ dàng chứng minh được \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}<2 với mọi n\in N
Do đó S<2.\dfrac{1}{1999}.2<2.\dfrac{1998}{1999}