Điều kiện: $x\leq 4 , -3\leq y\leq 3.$
$\begin{cases}(14-3x)\sqrt{4-x}-(3y+11)\sqrt{3+y}=0 (1)\\ \sqrt[3]{x+6}+2\sqrt{3-y}=6 (2)\end{cases}$$(1)\Leftrightarrow \left[ {3(4-x)+2} \right]\sqrt{4-x}=\left[ {3(3+y)+2} \right]\sqrt{3+y}$
Xét hàm $f(t)=(3t^2+2)t,$ ta có:
$f'(t)=9t^2+2>0\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $R.$
Vì vậy, $(1)\Leftrightarrow 4-x=3+y\Leftrightarrow x=1-y.$
Thay vào phương trình $(2)$, ta được:
$(2)\Leftrightarrow \sqrt[3]{7-y}+2\sqrt{3-y}=6$
Đặt $f(y)=\sqrt[3]{7-y}+2\sqrt{3-y}-6$, ta có:
$f'(y)=-\frac{1}{3\sqrt[3]{(7-y)^2}}-\frac{1}{\sqrt{3-y}}< 0$ $\forall y \in\left[ {-3;3} \right].$
Suy ra $f(y)$ nghịch biến trên $\left[ {-3;3} \right].$ nên phương trình $f(y)=0$ có nghiệm duy nhất.
Ta có: $f(-1)=0$ nên $y=-1\Rightarrow x=2$
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y)=(2;-1).$