dễ thấy $x,y>0$ nên $x+\sqrt{1+x^2}>1$, $y+\sqrt{1+y^2}>1$
Đặt
$x = \frac{a^2-1}{2a}$
$y = \frac{b^2-1}{2b}$
Điều kiện $a>1,b>1$ (điều này sẽ được kiểm chứng lại sau)
$x+\sqrt{1+x^2} = \frac{a^2-1}{2a}+\sqrt{\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2+1} = \frac{a^2-1}{2a}+\frac{a^2+1}{2a}=a$
tương tự $y+\sqrt{1+y^2} =b$
theo chứng minh trên thì $a>1, b>1$
vậy theo giả thiết cho $ab=2014 =n$ (tiện viết)
$P =x+y = \frac{a^2-1}{2a}+\frac{b^2-1}{2b} =\frac{a^2b-b+ab^2-a}{2ab}=\frac{(ab-1)(a+b)}{2ab}=\frac{(n-1)(a+b)}{2n}\geq \frac{(n-1)2\sqrt{ab}}{2n}=\frac{n-1}{\sqrt n}$
Vậy $\min P = \frac{n-1}{\sqrt n}= \frac{2013}{\sqrt {2014}}$
dấu = xảy ra khi $a=b=\sqrt n$ hay
hay $x=y = \frac{n-1}{2\sqrt n}=\frac{2013}{2\sqrt{2014}}$
nhớ vote mạnh vào nhé