DOIBUONTENH16 OI

Question

tìm $x₁ ,x₂.....x₁₄$ thuộc Z biết

$x₁ ⁴+x₂ ⁴+.....x₁₄ ⁴ =1999$

score 3 · Answer 1

ta xét tổng quát như sau :

S(x)=$ x^{4} $

TH1 : x = 2k $ \rightarrow S(x) =16k^{4}$

áp dụng vào phương trình ta có VT chia hết cho 16 mà VP=1999 hk chia hết chia 16 nên vô lí

TH2: x = 2k+1 $ \rightarrow S(x)-1=x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)=(x-1)(x+1)(x^{2}+1)$

vì x=2k+1 nên S(x)-1 = 2k.2(k+1)(4$k^{2}+4k+2) $

$ \rightarrow $ S(x)-1=8k(k+1)(...) chia hết cho 16 vì k(k+1) chia hết cho 2

vậy vs x = 2k+1 thì S(x)-1 chia hết cho 16

VT=$ Sx_{1}-1+Sx_{2}-1+......+Sx_{14}-1+14=1999$

$ \rightarrow Sx_{1}-1+Sx_{2}-1+......+Sx_{14}-1=1985$ (1)

mà VT của (1) chia hết cho 16 , VP không chia hết chi 16 nen vô lí

vậy phương trình không có nghiêm nguyên

score 2 · Answer 2

Lời giải trên chưa đúng hết, cần phải lập luận chính xác hơn.

Trường hợp 1- cả 14 nghiệm x là số chẵn thì VT chia hết 16 thì ok --> giống như bạn nói

Trường hợp 2 cả 14 nghiệm x đều lẻ thì giống như bạn đã trình bày ở trên --> ok

Trường hợp 3: trong số 14 nghiệm này có m nghiệm chẵn và n nghiệm lẻ (m+n =14) thì sao bạn không trình bày

giả sử có n nghiệm lẻ ($1 \leq n \leq 14$) không làm mất tính tổng quát giả sử (x1,x2,....xn)

còn $x_{n+1}$, ...$x_{14}$ là nghiệm chẵn

$S(x_1)-1+S(x_2)-1 + ...+S(x_n)-1 +S(x_{n+1})+...+S(x_{14})+n$ = 1999

$S(x_1)-1+S(x_2)-1 + ...+S(x_n)-1 +S(x_{n+1})+...+S(x_{14}) = 1999-n$

mà

$1 \leq n \leq 14 \to 1984 \leq 1999-n \leq 1998$

do đó $1999-n$ không chia hết cho 16 với mọi $1 \leq n \leq 14$

trong khi $S(x_1)-1+S(x_2)-1 + ...+S(x_n)-1 +S(x_{n+1})+...+S(x_{14})$ chia hết 16

do đó phương trình trên vô nghiệm

2 Đáp án