Giá trị nhỏ nhất

Question

Cho hai số thực dương thỏa:

$2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

Tìm GTNN của

$P=4(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3})-9(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 1 · 4/9/2014 8:57:11 PM

Ta có:

$2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)\Rightarrow t=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{S}{2}+\frac{S}{P}-\frac{1}{2} (S^2\ge 4P)$

$t\ge\frac{S}{2}+\frac{4}{S}-\frac{1}{2}\ge2\sqrt{2}-\frac{1}{2}$

$t^3=\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3}+3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}); t^2=\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2$

Có

$f(t)=4t^3-9t^2-12t+12$

$f'(t)=12t^2-18t-12\Rightarrow t=2<2\sqrt{2}-\frac{1}{2}$ (loại);

$f(t)\ge f(2\sqrt{2}-\frac{1}{2})=...$

Dấu bằng có khi

$S^2=8;\frac{S^2-2P}{P}=2\sqrt{2}-\frac{1}{2}$

Trả lời 09-04-14 08:57 PM

♂Vitamin_Tờ♫
16 1

306K 525K

hiểu khúc đó r :) do nãy ko nghĩ ra đặt cái pt x^2 -S.x P=0 :) – NguyễnTốngKhánhLinh 09-04-14 10:33 PM

khi đặt S,P thì điều kiện để có a,b thỏa là

$S^2\ ge 4P$ mà. quên rồi hả – ♂Vitamin_Tờ♫ 09-04-14 09:20 PM

Mon ơi, dòng đầu tiên, cái điều kiện là sao? – NguyễnTốngKhánhLinh 09-04-14 09:06 PM

1 Đáp án