Giả sử góc $a;\ b$ như hình
$\vec {OM}=(\cos a;\ \sin a);\ \vec {ON}=(\cos b;\ \sin b)$
Ta có $\vec {OM} .\vec {ON} = OM.ON .\cos (OM,\ ON)=1.1.\cos \bigg [ (OA;\ OM) -(OA;\ ON) \bigg ]=\cos (a-b)\ (1)$
Mặt khác $\vec {OM} .\vec {ON} = \cos a \cos b + \sin a \sin b \ (2)$ ( nhân 2 vecto biết tọa độ ý mà )
Từ $(1);\ (2)$ ta có
$\cos (a-b)=\cos a \cos b +\sin a \sin b$
Vậy $\cos (a+b) =\cos ( a-(-b))=\cos a \cos (-b) +\sin a \sin (-b)=\cos a \cos b -\sin a \sin b$
Các công thức còn lại tương tự ( dùng góc phụ nhau đưa về $\cos$ là xong)