|
Xét $f(x) =ax^2+bx+x$ thì $f$ là hàm liên tục trên $\mathbb R.$ Ta có $f(0)=c$ $f(1)=a+b+c$ $4f\left ( \dfrac{1}{2} \right )=a+2b+4c$ Suy ra $f(0)+f(1)+4f\left ( \dfrac{1}{2} \right )=2a+3b+6c=0$. Tổng ba số $f(0),f(1),4f\left ( \dfrac{1}{2} \right )$ có tổng bằng $0$ nên phải có hai số dương, một số âm hoặc hai số âm, một số dương. Không mất tính tổng quát có thể xét $f(0) \ge 0, f(1) \ge 0, 4f\left ( \dfrac{1}{2} \right ) \le 0$ khi đó $f(0).f\left ( \dfrac{1}{2} \right ) \le 0\Rightarrow $ PT $f(x)=0$ có nghiệm trong $\left[ {0,\dfrac{1}{2}} \right] $, đpcm. Các trường hợp khác xét tương tự.
|