hàm số liên tục

Question

1) Cho 3 số

$a, b, c$ thỏa mãn hệ thức

$2a+3b+6c=0.$ CMR: phương trình

$ax^2+bx+c=0 (a\neq 0)$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng

$(0;1).$

score 2 · Answer 1

Xét

$f(x) =ax^2+bx+x$ thì

$f$ là hàm liên tục trên

$\mathbb R.$
Ta có

$f(0)=c$

$f(1)=a+b+c$

$4f\left ( \dfrac{1}{2} \right )=a+2b+4c$
Suy ra

$f(0)+f(1)+4f\left ( \dfrac{1}{2} \right )=2a+3b+6c=0$ .
Tổng ba số

$f(0),f(1),4f\left ( \dfrac{1}{2} \right )$ có tổng bằng

$0$ nên phải có hai số dương, một số âm hoặc hai số âm, một số dương. Không mất tính tổng quát có thể xét

$f(0) \ge 0, f(1) \ge 0, 4f\left ( \dfrac{1}{2} \right ) \le 0$ khi đó

$f(0).f\left ( \dfrac{1}{2} \right ) \le 0\Rightarrow$ PT

$f(x)=0$ có nghiệm trong

$\left[ {0,\dfrac{1}{2}} \right]$ , đpcm.
Các trường hợp khác xét tương tự.

1 Đáp án