$(x+1)^n =\sum_{k=0}^nC^k_nx^k$.
Giả sử có hai số $C_n^k$ và $C_n^{k+1}$ sao cho
$\bullet$ $\frac{C_n^k}{C_n^{k+1}}=\frac{7}{5}\Rightarrow \frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}=\frac{7}{5}\Rightarrow \frac{k+1}{n-k}=\frac{7}{5}\Rightarrow 7n=12k+5$.
Đây là PT nghiệm nguyên ta giải được $n=12m+11, k =7m+6, m \in \mathbb Z$.
Ta cần thêm điều kiện $0 \le k \le n\Rightarrow m \ge 0.$ Vậy $n=12m+11,m \ge0$.
$\bullet$ $\frac{C_n^k}{C_n^{k+1}}=\frac{5}{7}\Rightarrow \frac{\frac{n!}{k!(n-k)!}}{\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}}=\frac{5}{7}\Rightarrow \frac{k+1}{n-k}=\frac{5}{7}\Rightarrow 5n=12k+7$.
Đây là PT nghiệm nguyên ta giải được $n=12l+11, k =7l+6, l \in \mathbb Z$.
Ta cần thêm điều kiện $0 \le l \le n\Rightarrow l \ge 0.$ Vậy $n=12l+11,l \ge0$.