(x+1)n=n∑k=0Cknxk.
Giả sử có hai số Ckn và Ck+1n sao cho
∙ CknCk+1n=75⇒n!k!(n−k)!n!(k+1)!(n−k−1)!=75⇒k+1n−k=75⇒7n=12k+5.
Đây là PT nghiệm nguyên ta giải được n=12m+11,k=7m+6,m∈Z.
Ta cần thêm điều kiện 0≤k≤n⇒m≥0. Vậy n=12m+11,m≥0.
∙ CknCk+1n=57⇒n!k!(n−k)!n!(k+1)!(n−k−1)!=57⇒k+1n−k=57⇒5n=12k+7.
Đây là PT nghiệm nguyên ta giải được n=12l+11,k=7l+6,l∈Z.
Ta cần thêm điều kiện 0≤l≤n⇒l≥0. Vậy n=12l+11,l≥0.