$[1+x^2(1-x)]^8$
$=\sum_{k=0}^{8} C_8^k1^{8-k}.[x^2(1-x)^k]$
$=\sum_{k=0}^{8} C_8^k.x^{2k}.(1-x)^k$
$=\sum_{k=0}^{8}\sum_{i=0}^{k}C_8^k.C_k^i.x^{2k}.1^{k-i}.(-1)^i.x^i$
$=\sum_{k=0}^{8}\sum_{i=0}^{k}C_8^k.C_k^i.x^{2k+i}.1^{k-i}.(-1)^i$
số hạng tổng quát là $C_8^k.C_k^ix^{2k+i}.1^{k-i}.(-1)^i$
số hạng chứa $x^8$ tương ứng với $2k+i=8$
k và i là 2 số tự nhiên thỏa mãn \begin{cases}k\geq i\geq 0 \\ 2k+i=8 \end{cases}
để quá trịnh chọn ngắn hơn,để ý rằng 2k và 8 đều là số chẵn,vậy i cũng phải là số chẵn
lần lượt chọn i=0 tới i=8,những số chẵn,ta chọn dc $i=0 \Leftrightarrow k=4 $ và $i=2 \Leftrightarrow k=3$
$i=4 \Leftrightarrow k=2$ tới đây loại và dừng lại luôn,vì $k\geq i\geq 0$
vậy hệ số của $x^8$ là $C_8^k.C_k^ix^{2k+i}.1^{k-i}.(-1)^i=C_8^4.C_4^0.1^{4}.(-1)^0+C_8^3.C_3^2.1^1.(-1)^2$
$=C_8^4.C_4^0.+C_8^3.C_3^2.$