PT đường thẳng $d$ qua $M$ có hệ số góc $k \ne 0$ có dạng $y=k(x-a)+b$. Ta có $S_{AOB} $ nhỏ nhất khi và chỉ khi $S_{AOB} =0 \Leftrightarrow d$ đi qua gốc toạ độ $O(0,0).$
Thay vào PT đường thẳng $d$ ta tìm ra $k =\frac{b}{a}$.
Vậy $d: y=\frac{b}{a}(x-a)+b=\frac{b}ax.$