bất đẳng thức

Question

Cho x,y,z là các số nguyên dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz$. Chứng minh rằng
1) $xyz\geq 27$
2)$ xy+yz+xz\geq 27$
3)$x+y+z\geq 9$
4)$xy+yz+xz\geq 2(x+y+z)+9$

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 1 · 2/8/2014 3:03:15 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Câu 4: $(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=2(xy+yz+zx)+xyz$

$\Rightarrow 2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-xyz\geq t^2-\frac{t^3}{27} (t=x+y+z\geq 9)$

Ta CM $27t^2-t^3\geq 108t+486$

Xét $f(t)=-t^3+27t^2-108t, t\geq9$

$f'(t)=-3t^2+54t-108=0\Rightarrow t=9\pm 3\sqrt{5}$

Từ BBT $f(t)\geq f(9)=486$ (đpcm)

Trả lời 08-02-14 03:03 PM

♂Vitamin_Tờ♫
16 1

306K 575K

score 2 · Answer 2

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

1. Áp dụng BĐT AM-GM

$xyz =x^2+y^2+z^2 \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Rightarrow (xyz)^3 \ge 27(xyz)^2\Rightarrow xyz \ge 27.$

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn. – Trần Nhật Tân 07-02-14 12:03 PM

score 1 · Answer 3

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

câu 2:
ta có \begin{cases}xy=\frac{xyz}{z} \\ yz=\frac{xyz}{x} \\xz=\frac{xyz}{y} \end{cases}
vậy vế trái =$xyz(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
áp dụng BĐT bunhiacopsky
$VT\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^{2}$
cô si cho $\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}$ ta có
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq 3\sqrt[6]{xyz}$
bình phương lên,vậy ta có $VT\geq 9\sqrt[3]{xyz}$
mà ở trên đã có $xyz\geq 27$,thay số vào ta có đpcm

score 1 · Answer 4

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

câu 3 áp dụng côsi cho 3 số x,y,z ta có
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$ mà câu 1 đã chứng minh $xyz\geq 27$ rồi :D
thay vào ra đpcm

lịch sử

Hỏi	06-02-14 08:42 PM
Lượt xem	2988
Hoạt động	08-02-14 03:03 PM

bất đẳng thức

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

bất đẳng thức

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan