Giả sử $(d)$ cắt $(d_1)$ tại $A(2+3a;-2+4a;1+a)$
Giả sử $(d)$ cắt $(d_2)$ tại $B(7+b;3+2b;9-b)$
Suy ra: $\overrightarrow{AB}=(5+b-3a;5+2b-4a;8-b-a)$
Vector chỉ phương của $(d_3)$ là $\overrightarrow{u}=(3;-2;-1)$
Ta có:
$\overrightarrow{AB}//\overrightarrow{u}\Rightarrow\dfrac{5+b-3a}{3}=\dfrac{5+2b-4a}{-2}=\dfrac{8-b-a}{-1}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\dfrac{47}{14}\\b=\dfrac{31}{7}\end{array}\right.$
$\Rightarrow A(\dfrac{169}{14};\dfrac{80}{7};\dfrac{61}{14});B(\dfrac{80}{7};\dfrac{83}{7};\dfrac{32}{7});\overrightarrow{AB}=(\dfrac{-9}{14};\dfrac{3}{7};\dfrac{3}{14})=\dfrac{-3}{14}(3;-2;-1)$
Suy ra phương trình $(d)$ là: $\dfrac{x-\dfrac{169}{14}}{3}=\dfrac{y-\dfrac{80}{7}}{-2}=\dfrac{x-\dfrac{61}{14}}{-1}$