Ta có: $n^n-n^2+n-1=n^n-n -(n-1)^2$. Như vậy ta chỉ cần chứng minh $n^n-n \vdots (n-1)^2$.
Mặt khác
$n^n-n=n(n^{n-1}-1)=n(n-1)(n^{n-2}+n^{n-3}+\dots+n+1)$.
Từ đây suy ra ta chỉ cần chứng minh
$n^{n-2}+n^{n-3}+\dots+n+1 \vdots (n-1).$
Thật vậy,
$n^{n-2}+n^{n-3}+\dots+n+1=(n^{n-2}-1)+(n^{n-3}-1)+\dots+(n-1)+(n-1) \vdots (n-1).$
bởi vì $n^k -1 \vdots (n-1) \forall k\ge 1.$