Ý tưởng của em xuất phát đúng rồi. Nhưng cần tìm thêm điều kiện $H \in mp(ABC)$. Để có thêm 1 phương trình nữa với các ẩn $x,y,z$ là toạ độ của $H$ em có thể viết PT mp$(ABC)$ và cho $H$ nằm trên mp này.
Cụ thể tìm VTPT của mp $(ABC)$ bằng cách tính tích có hướng của
$\left[ {\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}} \right]=(3,-3,-1).$
Lúc này mp$(ABC): 3(x-1)-3(y-0)-1(z+1)=0\Leftrightarrow 3x-3y-z=4$
Thêm hệ PT để $H$ là trực tâm
$\Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{CH}.\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(x-3).1+(y-1).1+(z-2).0=0 \\ (x-2).2+(y-1).1+(z+1).3=0 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x+y=4 \\2x+y+3z=2 \end{cases}$.
Tóm lại
$ \begin{cases}3x-3y-z=4\\x+y=4 \\2x+y+3z=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{46}{19} \\ y=\frac{30}{19}\\z=-\frac{28}{19} \end{cases}$.