Cần giúp chi tiết.

Question

Tính tích phân: $$I=\int\limits_{\ln3}^{\ln8}\dfrac{xe^x}{\sqrt{e^x+1}}dx$$

score 1 · Answer 1

Đặt $\sqrt{e^x+1}=t \Rightarrow e^x =t^2 -1 \Rightarrow e^x dx = 2tdt$ đồng thời $\Rightarrow x=\ln (t^2-1) $

$I=\int \limits_2^3 \dfrac{\ln (t^2-1) 2t}{t}dt=2\int_2^3 \ln (t^2-1)dt$

Đặt $\ln (t^2-1) = u \Rightarrow \dfrac{2t}{t^2-1}dt=du$ và $dt = dv \Rightarrow t=v$

$I=t.\ln (t^2-1) \bigg |_2^3 -2\int \dfrac{t^2}{t^2-1}dt$

Tính $\int \dfrac{t^2}{t^2-1}dt=\int dt +\int \dfrac{1}{t^2-1}dt=t +\dfrac{1}{2}\int \bigg (\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1} \bigg )dt$

$=\bigg (t +\dfrac{1}{2} \ln \bigg | \dfrac{1-t}{1+t} \bigg | \bigg ) \bigg |_2^3$

Em tự lắp lại nhé

score 1 · Answer 2

Đặt: $t=e^x+1 \Rightarrow dt=e^xdx$

Đổi cận: $x=\ln3 \Rightarrow t=4$

$x=\ln 8 \Rightarrow t=9$

Ta có:

$I=\int\limits_4^9\dfrac{\ln(t-1)}{\sqrt t}dt$

$=2\int\limits_4^9\ln(t-1)d(\sqrt t)$

$=2\ln(t-1)\sqrt t\left|\begin{array}{l}9\\4\end{array}\right.-2\int\limits_4^9\sqrt t d(\ln(t-1))$

$=6\ln8-4\ln3-2\int\limits_4^9\dfrac{\sqrt tdt}{t-1}$

$=6\ln8-4\ln3-2\int\limits_4^9\dfrac{2td(\sqrt t)}{t-1}$

$=6\ln8-4\ln3-2\int\limits_4^9\left(2+\dfrac{1}{\sqrt t-1}-\dfrac{1}{\sqrt t+1}\right)d(\sqrt t)$

$=6\ln8-4\ln3-2(2\sqrt t+\ln(\sqrt t-1)-\ln(\sqrt t+1))\left|\begin{array}{l}9\\4\end{array}\right.$

$=6\ln8-4\ln3-4+\ln\dfrac{4}{9}$

2 Đáp án