Cấp số cộng

Question

Cho tam giác $ABC$,chứng minh rằng nếu $ tan\frac{A}{2}, tan\frac{B}{2}, tan\frac{C}{2}$ lập thành một cấp số cộng thì $\cos A , \cos B , \cos C$ cũng lập thành một cấp sô cộng?

Bạn chú ý nhâp công thức cho đúng nhé . Nếu muốn hiển thị các kí hiệu Latex thì bạn phải cho vào trong 2 dấu $$Video hướng dẫn nhập tại : http://www.youtube.com/watch?v=0LISeDE1w_4

Đức Vỹ · Answer 1 · 12/27/2013 8:40:26 AM

Theo giả thiết ta có :
$\begin{array}{l}
tan\frac{A}{2} + tan\frac{C}{2} = 2tan\frac{B}{2}\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin \frac{{A + C}}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2}}} = 2\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{B}{2}}}\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}\frac{B}{2} = 4\sin \frac{B}{2}c{\rm{os}}\frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{C}{2}\\
\Leftrightarrow 1 + \cos B = 2\sin \frac{B}{2}(c{\rm{os}}\frac{{A + C}}{2} + c{\rm{os}}\frac{{A - C}}{2})\\
\Leftrightarrow 1 + \cos B = 1 - \cos B + \cos A + \cos C\\
\Leftrightarrow 2\cos B = \cos A + \cos C\\
\Rightarrow dpcm
\end{array}$
Nhận xét :
Bài toán có ý nghĩa nếu ta chỉ ra rằng lớp các tam giác không đều $ABC$ thỏa mãn hệ thức
$tan\frac{A}{2} + tan\frac{C}{2} = 2tan\frac{B}{2}$ ($*$) là khác rỗng
Xét tam giác $ABC$có $A = {90^0} \Rightarrow tan\frac{A}{2} = 1,\cos A = 0$
Đặt $tan\frac{B}{2} = x \Rightarrow tg\frac{C}{2} = 2x - 1 \Rightarrow 2x - 1 > 0$ hay $\frac{1}{2} < x < 1$
Ta có $\cos B = \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}};\cos C = \frac{{1 - {{(2x - 1)}^2}}}{{1 + {{(2x - 1)}^2}}}$
Ta có (*) $ \Leftrightarrow \cos A + \cos C = 2\cos B$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2.\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{1 - {{(2x - 1)}^2}}}{{1 + {{(2x - 1)}^2}}}\\
\Leftrightarrow 2(1 - \frac{{2{x^2}}}{{1 + {x^2}}}) = 1 - \frac{{2{{(2x - 1)}^2}}}{{1 + {{(2x - 1)}^2}}}\\
\Leftrightarrow 1 = \frac{{4{x^2}}}{{1 - {x^2}}} - \frac{{2{{(2x - 1)}^2}}}{{1 + {{(2x - 1)}^2}}}\\
\Leftrightarrow (1 - {x^2})\left[ {1 + {{(2x - 1)}^2}} \right] = 4{x^2}\left[ {1 + {{(2x - 1)}^2}} \right] - 2(1 + {x^2}){(2x - 1)^2}\\
\Leftrightarrow 1 + {x^2} + (1 + {x^2}){(2x - 1)^2} = 4{x^2} + 4{x^2}{(2x - 1)^2} - 2(1 + {x^2}){(2x - 1)^2}\\
\Leftrightarrow 1 - 3{x^2} = {(2x - 1)^2}\left[ {4{x^2} - 3(1 + {x^2})} \right]\\
\Leftrightarrow {x^4} - {x^3} - 2{x^2} + 3x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow (x - 1)({x^2} + x + 1) = 0(**)
\end{array}$
Vì $x > \frac{1}{2}$ nên từ $(**)$ suy ra :
$\begin{array}{l}
tan\frac{A}{2} + tan\frac{C}{2} = 2tan\frac{B}{2} \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\\
\Rightarrow \cos C = \frac{{1 - tan^2\frac{C}{2}}}{{1 + tan^2\frac{C}{2}}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}
\end{array}$
Như vậy tồn tại tam giác $ABC$ không đều thỏa mãn hệ thức đã cho.Một trong các tam giác đó là tam giác vuông $ABC$ tại $B$ với $C = \arccos \frac{{\sqrt 5 }}{5}$

Hỏi	27-12-13 12:01 AM
Lượt xem	1804
Hoạt động	27-12-13 08:40 AM

Cấp số cộng

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Cấp số cộng

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan