pp quy nạp toán học

Question

1) C/m:

$\forall n\in N^*$ , ta luôn có bất đẳng thức:

$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}.$

* Làm chi tiết giùm e bước dùng bất đẳng thức cosi nhé, e xem mãi mà ko hiểu. thanks

score 2 · Answer 1

Tôi làm bước cuối thôi nhé

Với giả thiết quy nạp ở bước 2 ta có

$1+\dfrac{1}{\sqrt 2} +\dfrac{1}{\sqrt 3}+...+\dfrac{1}{\sqrt k} <2\sqrt k$

+ Cần chứng minh đúng với

$n=k+1$ tức là

$1+\dfrac{1}{\sqrt 2} +\dfrac{1}{\sqrt 3}+...+\dfrac{1}{\sqrt k}+\dfrac{1}{\sqrt {k+1}} <2\sqrt {k+1}$

Thật vậy

$1+\dfrac{1}{\sqrt 2} +\dfrac{1}{\sqrt 3}+...+\dfrac{1}{\sqrt k}+\dfrac{1}{\sqrt {k+1}} < 2\sqrt k +\dfrac{1}{\sqrt {k+1}}$

$=\dfrac{2\sqrt k \sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}} \ (*)$

Ta có theo Cauchy thì

$2\sqrt{ab} \le a+b$

áp dụng vào

$2\sqrt{k}.\sqrt{k+1} \le k+k+1 = 2k+1$ thay vào

$(*)$ ta có

$\dfrac{2\sqrt k \sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}} \le \dfrac{2k+2}{\sqrt{k+1}} =\dfrac{2\sqrt{(k+1)^2}}{\sqrt{k+1}}=2\sqrt{k+1}$

Mà dấu

$=$ không thể xảy ra nên bỏ dấu

$=$ đi thôi

dau = khi chi khi căn k = căn k 1 điều này là k thể – Dép Lê Con Nhà Quê 20-12-13 07:37 AM

sao dấu = ko thể xảy ra???? – HọcTạiNhà 20-12-13 04:39 AM

1 Đáp án