giúp em mấy bài này với,

Question

Chứng minh bất đẳng thức bằng Cauchy - Schwart (Nếu không thì dùng cách nào cũng được):
1. Cho

$x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)\leq \frac{4}{3}$ . Chứng minh

$x+y+z\leq 4$ .
2. Chứng minh:

$a+b+c\leq \frac{a^{2}+b^{2}}{2c}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2a}+\frac{c^{2}+a^{2}}{2b}\leq \frac{a^{3}}{bc}+\frac{b^{3}}{ca}+\frac{c^{3}}{ab}$
3. Chứng minh:

$\frac{a}{b+2c+3d}+\frac{b}{c+2d+3a}+\frac{c}{d+2a+3b}+\frac{d}{a+2b+3c}\geq \frac{2}{3}$
4. Chứng minh:

$\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$
5. Chứng minh:

$\frac{a^{2}}{a+\sqrt{bc}}+\frac{b^{2}}{b+\sqrt{ca}}+\frac{c^{2}}{c+\sqrt{ab}}\geq \frac{1}{2}(a+b+c)$
6. Chứng minh:

$\frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Câu 5. Cosi cho cái căn ở mẫu. Rồi C-S. biến đổi tương đương
Câu 3 nhân a,b,c,d lần lượt zo rồi áp dụng C-S. SAu đó biến đổi tương đương

score 7 · Answer 1

Bai 6:

Ta có:

$\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$ +

$\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}$ +

$\frac{c^3-a^3}{c^2+ca+a^2}$

$=$

$a$

$-$

$b$

$+$

$b$

$-$

$c$

$+$

$c$

$-$

$a$

$=$

$0$

$\Rightarrow$

$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}$ +

$\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}$ +

$\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}$

$=$

$\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}$ +

$\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}$ +

$\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}$

Do đó :

$2$

$VT$

$=$

$\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}$

$+$

$\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}$

$+$

$\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}$

Vì

$3$

$($

$a^2$

$-$

$ab$

$+$

$b^2$

$)$

$\geq$

$a^2$

$+$

$ab$

$+$

$b^2$

$\Leftrightarrow$

$2$

$($

$a$

$-$

$b$

$)$

$^2$

$\geq$

$0$

$($ luôn đúng

$)$

nên

$3$

$($

$a^3$

$+$

$b^3$

$)$

$=$

$3$

$($

$a$

$+$

$b$

$)$

$($

$a^2$

$-$

$ab$

$+$

$b^2$

$)$

$\geq$

$($

$a$

$+$

$b$

$)$

$($

$a^2$

$+$

$ab$

$+$

$b^2$

$)$

$\Rightarrow$

$a^3$

$+$

$b^3$

$\ge$

$\frac{(a+b)(a^2+ab+b^2)}{3}$

Thay vào là ra

score 6 · Answer 2

bai 2:

Giả sử 0 < a

$\leq$ b

$\leq$ c. Xét hai dãy cùng chiều

$a^2$

$\leq$

$b^2$

$\leq$

$c^2$ và

$\frac{1}{c}$

$\leq$

$\frac{1}{b}$

$\leq$

$\frac{1}{a}$ ta có:

$a+b+c$

$\leq$

$\frac{a^2}{c}$ +

$\frac{b^2}{a}$ +

$\frac{c^2}{b}$

$(1)$ và

$a+b+c$

$\leq$

$\frac{a^2}{b}$ +

$\frac{b^2}{c}$ +

$\frac{c^2}{a}$

$(2)$

Cộng

$(1)$ và

$(2)$ rồi chia cho 2 ta được :

$a+b+c$

$\leq$

$\frac{1}{2}$ .

$($

$\frac{a^2+b^2}{c}$ +

$\frac{b^2+c^2}{a}$ +

$\frac{c^2+a^2}{b}$

$)$

$(3)$

Xét hai dãy cùng chiều

$a^3$

$\leq$

$b^3$

$\leq$

$c^3$ và

$\frac{1}{bc}$

$\leq$

$\frac{1}{ca}$

$\leq$

$\frac{1}{ab}$ ta có:

$\frac{a^3}{bc}$ +

$\frac{b^3}{ca}$ +

$\frac{c^3}{ab}$

$\geq$

$\frac{a^3}{ab}$ +

$\frac{b^3}{bc}$ +

$\frac{c^3}{ca}$

$=$

$\frac{a^2}{b}$ +

$\frac{b^2}{c}$ +

$\frac{c^2}{a}$

$(4)$

và

$\frac{a^3}{bc}$ +

$\frac{b^3}{ca}$ +

$\frac{c^3}{ab}$

$\geq$

$\frac{a^3}{ac}$ +

$\frac{b^3}{ab}$ +

$\frac{c^3}{bc}$

$=$

$\frac{a^2}{c}$ +

$\frac{b^2}{a}$ +

$\frac{c^2}{b}$

$(5)$

Từ

$(4)$ và

$(5)$ suy ra:

$\frac{a^3}{bc}$ +

$\frac{b^3}{ca}$ +

$\frac{c^3}{ab}$

$\geq$

$\frac{1}{2}$ .

$($

$\frac{a^2+b^2}{c}$ +

$\frac{b^2+c^2}{a}$ +

$\frac{c^2+a^2}{b}$

$)$

$(6)$

Từ

$(3)$ và

$(6)$ suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi

$a$ =

$b$ =

$c$ = 1

score 5 · Answer 3

Ta có :

$\frac{a}{b+2c+3d}$ =

$\frac{a^2}{ab+2ac+3ad}$

Tương tự ..........cộng lại

$\frac{a}{b+2c+3d}$ +

$\frac{b}{c+2d+3a}$ +

$\frac{c}{d+2a+3b}$ +

$\frac{d}{a+2b+3c}$

=

$\frac{a^2}{ab+2ac+3ad}$ +

$\frac{b^2}{bc+2db+3ab}$ + .............

>=

$\frac{(a+b+c+d)^2}{4(ab+ac+ad+bc+bd+cd}$

Ta có

$\frac{3}{2}$ . (a+b+c+d)^2 - 4(ab+bc+ca+ad+bd+cd)

=

$\frac{3}{2}$ .

$(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2bc+2cd+2da+2ac+2bd)$ -

$4(ab+bc+ca+ad+bd+cd)$

=

$\frac{3(a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ab+bc+ca+ad+bd+cd)}{2}$

=

$\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+(a-d)^2+(b-d)^2}{2}$

$\geq$ 0

$\Rightarrow$ 4

$($ ab

$+$ bc

$+ca+ad+bd+cd)$

$\leq$

$\frac{3}{2}$ .

$(a+b+c+d)^2$

$\Rightarrow$ dpcm

Hỏi	15-12-13 03:02 PM
Lượt xem	3286
Hoạt động	16-12-13 06:41 PM

giúp em mấy bài này với,

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

giúp em mấy bài này với,

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan