bai 2:Giả sử 0 < a $\leq$ b $\leq$ c. Xét hai dãy cùng chiều $a^2$ $\leq$ $b^2$$\leq$$c^2$ và $\frac{1}{c}$$\leq$$\frac{1}{b}$$\leq $$\frac{1}{a}$ ta có:
$a+b+c$ $\leq$ $\frac{a^2}{c}$+$\frac{b^2}{a}$+$\frac{c^2}{b}$ $(1)$ và $a+b+c$$\leq$$\frac{a^2}{b}$+$\frac{b^2}{c}$+$\frac{c^2}{a}$ $(2)$
Cộng $(1)$ và $(2)$ rồi chia cho 2 ta được :
$a+b+c$ $\leq$$\frac{1}{2}$.$($$\frac{a^2+b^2}{c}$+$\frac{b^2+c^2}{a}$+$\frac{c^2+a^2}{b}$$)$ $(3)$
Xét hai dãy cùng chiều $a^3$$\leq$$b^3$$\leq$$c^3$ và $\frac{1}{bc}$$\leq$$\frac{1}{ca}$$\leq$$\frac{1}{ab}$ ta có:
$\frac{a^3}{bc}$+$\frac{b^3}{ca}$+$\frac{c^3}{ab}$$\geq$ $\frac{a^3}{ab}$+$\frac{b^3}{bc}$+$\frac{c^3}{ca}$$=$$\frac{a^2}{b}$+$\frac{b^2}{c}$+$\frac{c^2}{a}$ $(4)$
và $\frac{a^3}{bc}$+$\frac{b^3}{ca}$+$\frac{c^3}{ab}$$\geq$$\frac{a^3}{ac}$+$\frac{b^3}{ab}$+$\frac{c^3}{bc}$$=$ $\frac{a^2}{c}$+$\frac{b^2}{a}$+$\frac{c^2}{b}$$(5)$
Từ $(4)$ và $(5)$suy ra:
$\frac{a^3}{bc}$+$\frac{b^3}{ca}$+$\frac{c^3}{ab}$$\geq $$\frac{1}{2}$.$($$\frac{a^2+b^2}{c}$+$\frac{b^2+c^2}{a}$+$\frac{c^2+a^2}{b}$$)$ $(6)$
Từ $(3)$ và $(6)$ suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a$=$b$=$c$ = 1