Help me!!!

Question

Cho số tự nhiên

$n$ . Chứng minh rằng

$2^{3^{n}}+1$ không chia hết cho 17

score 4 · Answer 1

*) Với

$n=2k$ , ta có:

$A=2^{3^n}+1=2^{3^{2k}}+1=2^{9^k}+1$

Ta có:

$9^k\equiv1$ (mod

$8$ )

$\Rightarrow 9^k=8n+1$

$\Rightarrow A=2^{8n+1}+1=2.256^n+1\equiv 3$ (mod

$17$ ) vì

$256\equiv 1$ (mod

$17$ ).

*) Với

$n=2k+1$ , ta có:

$A=2^{3^n}+1=2^{3^{2k+1}}+1=2^{3.9^k}+1$

Ta có:

$3.9^k\equiv3$ (mod

$8$ )

$\Rightarrow 3.9^k=8m+3$

$\Rightarrow A=2^{8m+3}+1=8.256^m+1\equiv 9$ (mod

$17$ ) vì

$256\equiv 1$ (mod

$17$ ).

Vậy:

$2^{3^n}+1$ không chia hết cho

$17$ với mọi

$n\in\mathbb{N}$

1 Đáp án