Kí hiệu \sum là tổng của những biểu thức tương tự nhau. Ví dụ
a+b+c = \sum, ab+bc+ca =\sum ab.
Ta biến đổi BĐT như sau. BĐT đã cho
\Leftrightarrow \frac{\sum a^3}{abc}+9\frac{\sum ab}{\sum a^2} \ge 12
\Leftrightarrow \frac{\sum a^3-3abc}{abc}+9\frac{\sum ab-\sum a^2}{\sum a^2} \ge 0
\Leftrightarrow \frac{\left ( \sum a \right )\left ( \sum a^2 -\sum ab\right )}{abc}+9\frac{\sum ab-\sum a^2}{\sum a^2} \ge 0
\Leftrightarrow \left ( \sum a^2 -\sum ab \right )\left ( \frac{\sum a}{abc}-\frac{9}{\sum a^2} \right ) \ge 0
\Leftrightarrow \left ( \sum a^2 -\sum ab \right )\left ( \frac{\sum a\sum a^2-9abc}{abc\sum a^2} \right ) \ge 0
Nhưng BĐT này đúng vì
\sum a^2 -\sum ab = \frac{1}{2}\sum (a-b)^2 \ge 0.
\sum a\sum a^2 \ge 3 \sqrt[3]{abc}. 3 \sqrt[3]{a^2b^2c^2} = 9abc.