Đặt: $a=2+i\sqrt5;b=2-i\sqrt5, S_n=a^n+b^n$
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}a+b=4\\a^2+b^2=-2\end{array}\right.$, suy ra: $S_1,S_2\in\mathbb{R} (1)$
Lại có: $a,b$ là nghiệm của phương trình $x^2-4x+9=0$, ta có:
$\left\{\begin{array}{l}a^2-4a+9=0\\b^2-4b+9=0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a^{n+2}-4a^{n+1}+9a^n=0\\b^{n+2}-4b^{n+1}+9b^n=0\end{array}\right.$
$\Rightarrow S_{n+2}-4S_{n+1}+9S_n=0,\forall n\in\mathbb{N} (2)$
Từ $(1),(2)$, bằng quy nạp ta suy ra: $S_n\in\mathbb{R},\forall n\in\mathbb{N}$
Từ đó: $z=(2+i\sqrt5)^7+(2-i\sqrt5)^7=S_7\in\mathbb{Z}$